Minimo PR+QR
Siano dati nel primo quadrante di un piano cartesiano due punti $P\equiv(a,b)$ e $Q\equiv(c,d)$ con $c>a$ e $b$ diverso da $d$. Trovare il punto $R$ su l'asse $x$ tale che $PR+QR$ sia minimo.
Ho provato a scrivere la somma in funzione di $x$ (ascissa di $R$) applicando il teorema di Pitagora. Successivamente ho posto la derivata di quanto trovato uguale a zero. Purtroppo l'equazione è fin troppo complessa. Qualche idea?
Ho provato a scrivere la somma in funzione di $x$ (ascissa di $R$) applicando il teorema di Pitagora. Successivamente ho posto la derivata di quanto trovato uguale a zero. Purtroppo l'equazione è fin troppo complessa. Qualche idea?
Risposte
Sicuro che sia $PQ+QR$? Perché così sarebbe troppo facile.
Forse volevi dire $PR+QR$
Forse volevi dire $PR+QR$
Allora, la risposta "nuda e cruda" al quesito iniziale è chiaramente $R==c$. 
Giacché penso che milizia96 abbia visto giusto, la soluzione (seguendo il metodo che hai descritto) è la seguente:
La derivata secondo $R$ di $sqrt(R^2+a^2-2aR+b^2)+sqrt(R^2+c^2-2cR+d^2)$ è $1/2 (-(2 (a-R))/sqrt(a^2-2 a R+b^2+R^2)-(2 (c-R))/sqrt(c^2-2 c R+d^2+R^2))$. Ponendola uguale a zero, si trova facilmente che l'equazione associata si annulla per $R = (b c-a d)/(b-d)$ // $R = (a d+b c)/(b+d)$. Lascio a te l'onere di tirare le somme
Giacché penso che milizia96 abbia visto giusto, la soluzione (seguendo il metodo che hai descritto) è la seguente:
La derivata secondo $R$ di $sqrt(R^2+a^2-2aR+b^2)+sqrt(R^2+c^2-2cR+d^2)$ è $1/2 (-(2 (a-R))/sqrt(a^2-2 a R+b^2+R^2)-(2 (c-R))/sqrt(c^2-2 c R+d^2+R^2))$. Ponendola uguale a zero, si trova facilmente che l'equazione associata si annulla per $R = (b c-a d)/(b-d)$ // $R = (a d+b c)/(b+d)$. Lascio a te l'onere di tirare le somme
Piccolo errore di distrazione. Ho corretto il testo come mi ha fatto notare milizia96. Forse mi sono perso perchè odiando i conti ho pensato che ci potesse essere una risoluzione più rapida. Sto svolgendo i conti
Grazie per avermi fatto capire che è meglio svolgere tutti i calcoli. Problema risolto. Alla fine era abbastanza semplice
Figurati.
Potrebbe tranquillamente esserci un metodo più rapido, però a me pare proprio un esercizio di calcolo/analisi... personalmente ho impiegato 10, 15 minuti massimo per arrivare al punto che ho mostrato. Non mi pareva il caso di spremere le meningi più di tanto
Potrebbe tranquillamente esserci un metodo più rapido, però a me pare proprio un esercizio di calcolo/analisi... personalmente ho impiegato 10, 15 minuti massimo per arrivare al punto che ho mostrato. Non mi pareva il caso di spremere le meningi più di tanto
"marcokrt":
$ sqrt(R^2+a^2-2aR+b^2)+sqrt(R^2+c^2-2cR+d^2) $
Scusa per la domanda forse stupida, ma stavolta proprio non ci arrivo: come hai ricavato questa espressione?
Teorema di Pitagora applicato due volte (tanti quanti sono i segmenti obliqui da sommare)... il quadrato mi evita il problema di usare i valori assoluti $(R-a)^2=(a-R)^2$ XD
Il problema è veramente classico e può essere risolto anche con metodi elementari.
Lasciando stare per il momento il piano cartesiano, il nostro problema è:
Dati due punti $P$ e $Q$ che si trovano dalla stessa parte rispetto ad una retta $r$, trovare il punto $R$ sulla retta $r$ in modo tale che il percorso che vada da $P$ a $R$ e poi da $R$ a $Q$ sia minimo possibile.
Questo problema non è facile per il seguente motivo: $P$ e $Q$ si trovano dalla stessa parte rispetto a $r$. Se invece si trovassero da parti opposte, noi potremmo camminare da $P$ a $Q$ in linea retta (che è di sicuro il percorso minimo) incontrando nel nostro percorso la retta $r$. Quindi la soluzione sarebbe di sicuro scegliere $R$ come il punto di intersezione tra $PQ$ e $r$.
Ecco il truccone: consideriamo il punto simmetrico di $Q$ rispetto a $r$, e chiamiamolo $A$.
Ora è facile convincersi che ad ogni possibile percorso $P-R-Q$ valido, corrisponde un percorso $P-R-A$ che ha esattamente la stessa lunghezza (e viceversa!).
Quindi per minimizzare il percorso $P-R-Q$ basta minimizzare il percorso $P-R-A$. Ma questa è la versione facile del problema! ($P$ e $A$ stanno da parti opposte rispetto a $r$).
Quindi la scelta migliore è porre $R$ coincidente con l'intersezione tra $PA$ e $r$.
Da qui a trovare la formula per le coordinate di $R$ il passo è breve...
Lasciando stare per il momento il piano cartesiano, il nostro problema è:
Dati due punti $P$ e $Q$ che si trovano dalla stessa parte rispetto ad una retta $r$, trovare il punto $R$ sulla retta $r$ in modo tale che il percorso che vada da $P$ a $R$ e poi da $R$ a $Q$ sia minimo possibile.
Questo problema non è facile per il seguente motivo: $P$ e $Q$ si trovano dalla stessa parte rispetto a $r$. Se invece si trovassero da parti opposte, noi potremmo camminare da $P$ a $Q$ in linea retta (che è di sicuro il percorso minimo) incontrando nel nostro percorso la retta $r$. Quindi la soluzione sarebbe di sicuro scegliere $R$ come il punto di intersezione tra $PQ$ e $r$.
Ecco il truccone: consideriamo il punto simmetrico di $Q$ rispetto a $r$, e chiamiamolo $A$.
Ora è facile convincersi che ad ogni possibile percorso $P-R-Q$ valido, corrisponde un percorso $P-R-A$ che ha esattamente la stessa lunghezza (e viceversa!).
Quindi per minimizzare il percorso $P-R-Q$ basta minimizzare il percorso $P-R-A$. Ma questa è la versione facile del problema! ($P$ e $A$ stanno da parti opposte rispetto a $r$).
Quindi la scelta migliore è porre $R$ coincidente con l'intersezione tra $PA$ e $r$.
Da qui a trovare la formula per le coordinate di $R$ il passo è breve...
"marcokrt":
Teorema di Pitagora applicato due volte (tanti quanti sono i segmenti obliqui da sommare)... il quadrato mi evita il problema di usare i valori assoluti $(R-a)^2=(a-R)^2$ XD
Ok, grazie della spiegazione!
Derivateeee? ma siete pazzi? questo è il classico problema del percorso minimo, dati due punti P e Q e una retta r, il percorso minimo che porta da P a Q passando per r è quello che forma sulla retta r angoli incidenti uguali, quindi basta considerare un punto x sulle ascisse e porre che la tangente dei due angoli coincidenti sia uguale, ma dato che la tangente è y/x abbiamo che la tangente 1= b/(x-a) e la tangente 2 = d/(c-x) ponendo l'uguaglianza si ricava che x= (bc+da)/(b+d) CVD
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