Mi chiedevo..
Ho una domanda da farvi.
In questi giorni mi sono esercitato molto a dimostrare delle uguaglianze per induzione, usufruendo degli esercizi proposti dal libro... ma mi chiedevo...
ad esempio prendiamo un esercizio piuttosto semplice, ovvero dimostrare che
$1+1/2+1/4+.....+1/2^n=2-1/2^n$
Dimostrarlo per induzione è piuttosto semplice, ma se mai ad esempio durante una situazione mi servisse di conoscere il secondo membro dell'equazione avendo il primo, come procedo?
Tralasciando i casi noti, come la somma dei primi n numeri o dei primi n numeri dispari, come farei ad esempio a sapere che
$1+3+9+...+3^(n-1)$
è uguale a
$(3^n-1)/2$
??
Spero di essermi fatto capire, ciao a tutti.
In questi giorni mi sono esercitato molto a dimostrare delle uguaglianze per induzione, usufruendo degli esercizi proposti dal libro... ma mi chiedevo...
ad esempio prendiamo un esercizio piuttosto semplice, ovvero dimostrare che
$1+1/2+1/4+.....+1/2^n=2-1/2^n$
Dimostrarlo per induzione è piuttosto semplice, ma se mai ad esempio durante una situazione mi servisse di conoscere il secondo membro dell'equazione avendo il primo, come procedo?
Tralasciando i casi noti, come la somma dei primi n numeri o dei primi n numeri dispari, come farei ad esempio a sapere che
$1+3+9+...+3^(n-1)$
è uguale a
$(3^n-1)/2$
??
Spero di essermi fatto capire, ciao a tutti.
Risposte
Hai da calcolare
$sum_(k=0)^n (1/2)^k=(1-(1/2)^(n+1))/(1-1/2)=...=2-1/2^n$
è una serie geometrica
$sum_(k=0)^n (1/2)^k=(1-(1/2)^(n+1))/(1-1/2)=...=2-1/2^n$
è una serie geometrica
Con un utilissimo gingillo chiamato "progressione geometrica".
Sia 1 il primo membro della progressione. Moltiplicando per un numero, detto "ragione della progressione geometrica", che chiamiamo $q$,
si ottengono di volta in volta i valori $1,q,q^2,q^3,ldots,q^(n-1)$. La somma di questi $n$ numeri è $S_n=1+q+q^2+ldots+q^(n-1)$ (1).
Moltiplicando ambo i membri per $q$, si ha $qS_n=q+q^2+ldots+q^n$ (2). Sottraendo membro a membro la (1) e la (2)
ottieni $S_n=(q^n-1)/(q-1)$.
Sia 1 il primo membro della progressione. Moltiplicando per un numero, detto "ragione della progressione geometrica", che chiamiamo $q$,
si ottengono di volta in volta i valori $1,q,q^2,q^3,ldots,q^(n-1)$. La somma di questi $n$ numeri è $S_n=1+q+q^2+ldots+q^(n-1)$ (1).
Moltiplicando ambo i membri per $q$, si ha $qS_n=q+q^2+ldots+q^n$ (2). Sottraendo membro a membro la (1) e la (2)
ottieni $S_n=(q^n-1)/(q-1)$.
Immaginavo che riguardasse le serie...
Purtroppo facendo il 4, ancora non le ho affrontate.
Comunque, il programma di 5 liceo ti dà gli strumenti per effettuare l'operazione che ho richiesto?
Grazie a entrambi per la risposta, ciao.
Purtroppo facendo il 4, ancora non le ho affrontate.
Comunque, il programma di 5 liceo ti dà gli strumenti per effettuare l'operazione che ho richiesto?
Grazie a entrambi per la risposta, ciao.
Non hai fatto progressioni aritmetiche e geometriche in seconda liceo ?
Le serie ( somma di infiniti termini ) non si fanno nenache in quinta , ma ad Analisi 1 .
I tuoi esempi però , se ho ben capito parlavano di un numero finito di termini , non infinito.
Le serie ( somma di infiniti termini ) non si fanno nenache in quinta , ma ad Analisi 1 .
I tuoi esempi però , se ho ben capito parlavano di un numero finito di termini , non infinito.
No, in seconda non ho fatto nulla di tutto ciò.
Sicuro che non si fanno nemmeno in quinto? Sul libro del prossimo anno, che la professoressa ci ha già fatto comprare, c'è un capitolo prima delle derivate intitolato: Successioni e serie numeriche (e un paragrafo parla anche di successioni geometriche e aritmetiche).
Sicuro che non si fanno nemmeno in quinto? Sul libro del prossimo anno, che la professoressa ci ha già fatto comprare, c'è un capitolo prima delle derivate intitolato: Successioni e serie numeriche (e un paragrafo parla anche di successioni geometriche e aritmetiche).
Se leggi la mia dimostrazione, puoi renderti conto che non serve alcuna conoscenza particolare per conoscere la somma di una progressione geometrica
di n termini. Ti consiglio di impadronirti di questo strumento da solo. Le somme da te postate si calcolano esattamente con la formula per $S_n$.
Si può anche dire qualcosa in più: immagina di voler conoscere $sum_(k=0)^oo x^k$. Questa è in realtà una scrittura impropria, sebbene intuitiva, perchè non
si possono sommare infiniti termini. Si deve scrivere $lim_(n to oo) sum_(k=0)^n x^k$. Comunque, applicando la solita formula per la $S_n$,
si ha $sum_(k=0)^oo x^k=1+x+x^2+x^3+ldots=lim_(n to oo) (1-x^n)/(1-x)$. Anche senza il programma di quinta non faticherai ad accorgerti che se $|x|<1$
allora la somma è finita, infinita altrimenti, in quanto il termine $x^n$ può annullarsi o diventare indefinitamente grande.
Quindi vale $sum_(k=0)^oo x^k={(1/(1-x)mbox( se )|x|<1),(oombox( se )|x|>1):}$
Se $x=1$, la serie diverge a $+oo$, se $x=-1$ è indeterminata. Puoi renderti conto di questo risultato disegnando i grafici
di $f(x)=1/(1-x)$ e di alcune funzioni ottenute sommando potenze successive di $x$, ad esempio $g(x)=1+x+x^2$ o $h(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5$
e così via, osservando cosa succede aumentando progressivamente il numero di potenze, il tutto ovviamente nell'intervallo $]-1,1[$.
di n termini. Ti consiglio di impadronirti di questo strumento da solo. Le somme da te postate si calcolano esattamente con la formula per $S_n$.
Si può anche dire qualcosa in più: immagina di voler conoscere $sum_(k=0)^oo x^k$. Questa è in realtà una scrittura impropria, sebbene intuitiva, perchè non
si possono sommare infiniti termini. Si deve scrivere $lim_(n to oo) sum_(k=0)^n x^k$. Comunque, applicando la solita formula per la $S_n$,
si ha $sum_(k=0)^oo x^k=1+x+x^2+x^3+ldots=lim_(n to oo) (1-x^n)/(1-x)$. Anche senza il programma di quinta non faticherai ad accorgerti che se $|x|<1$
allora la somma è finita, infinita altrimenti, in quanto il termine $x^n$ può annullarsi o diventare indefinitamente grande.
Quindi vale $sum_(k=0)^oo x^k={(1/(1-x)mbox( se )|x|<1),(oombox( se )|x|>1):}$
Se $x=1$, la serie diverge a $+oo$, se $x=-1$ è indeterminata. Puoi renderti conto di questo risultato disegnando i grafici
di $f(x)=1/(1-x)$ e di alcune funzioni ottenute sommando potenze successive di $x$, ad esempio $g(x)=1+x+x^2$ o $h(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5$
e così via, osservando cosa succede aumentando progressivamente il numero di potenze, il tutto ovviamente nell'intervallo $]-1,1[$.
Elgiovo, grazie davvero per la tua spiegazione chiara e efficace.
Casomai appena ho un po' di tempo libero cerco di ricavare da me le relazioni del libro con il tuo metodo.
In caso di difficoltà posterò.
Grazie ancora e buon weekend, anche a Luca e Camillo
Ciao
Casomai appena ho un po' di tempo libero cerco di ricavare da me le relazioni del libro con il tuo metodo.
In caso di difficoltà posterò.
Grazie ancora e buon weekend, anche a Luca e Camillo
Ciao
"elgiovo":
... si ha $sum_(k=0)^oo x^k=1+x+x^2+x^3+ldots=lim_(n to oo) (1-x^n)/(1-x)$ ...
ma se nell'ultima uguaglianza $n$ tende ad infinito, non significa che anche tutto il limite tende ad infinito? (meno infinito per essere precisi..)
Non sempre. Prendi ad esempio $x=1/2$. Le potenze successive $1/2,(1/2)^2,(1/2)^3,ldots$ decrescono a 0. Infatti $lim_(n to oo) (1/2)^n=lim_(n to oo) 1/2^n=0$,
e questo è vero per tutti i numeri $x$ tali per cui $|x|<1$.
e questo è vero per tutti i numeri $x$ tali per cui $|x|<1$.
iih gia.. 
infatti io vedevo la cosa solo per numeri interi..
infatti io vedevo la cosa solo per numeri interi..
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