Mettere in fila i numeri da 1 a 10
In quanti modi si possono mettere in fila i numeri naturali da 1 a 10 in modo tale che
-il primo numero di ogni possibile disposizione sia 1
- la differenza tra due numeri consecutivi non sia mai maggiore di due?
Ho provato ad affrontarlo in modo ricorsivo, ho provato a chiamare X10 il numero di possibili disposizioni che inizino per 1, e poi, rispettando le due regole, a cercare una legge ricorsiva che mi permettesse di partire da un caso più semplice dal quale calcolare poi X10. Purtroppo non ho avuto successo.
-il primo numero di ogni possibile disposizione sia 1
- la differenza tra due numeri consecutivi non sia mai maggiore di due?
Ho provato ad affrontarlo in modo ricorsivo, ho provato a chiamare X10 il numero di possibili disposizioni che inizino per 1, e poi, rispettando le due regole, a cercare una legge ricorsiva che mi permettesse di partire da un caso più semplice dal quale calcolare poi X10. Purtroppo non ho avuto successo.
Risposte
Un metodo può essere questo ...
Metti i dieci numeri nell'ordine naturale e poi inverti la posizione di due numeri consecutivi: hai trovato una nuova disposizione. Ben presto ti accorgi che non puoi invertire i numeri vicino a questa coppia e non dovresti metterci molto a trovare le altre possibili coppie invertibili.
Con un po' di pazienza (ma neanche tanta ...) dovresti trovare tutte le disposizioni.
Cordialmente, Alex
Metti i dieci numeri nell'ordine naturale e poi inverti la posizione di due numeri consecutivi: hai trovato una nuova disposizione. Ben presto ti accorgi che non puoi invertire i numeri vicino a questa coppia e non dovresti metterci molto a trovare le altre possibili coppie invertibili.
Con un po' di pazienza (ma neanche tanta ...) dovresti trovare tutte le disposizioni.
Cordialmente, Alex
Dovrebbero essere $46$ ...
Ho notato che non è sufficiente invertire due numeri consecutivi ma anche le coppie a "due passi" di distanza ...
Ricorsivamente dovrebbe essere fattibile partendo però dalla coppia $(9, 10)$ ...
Un altro metodo può essere quello di disegnare un decagono, numerare i vertici in sequenza dall'uno al dieci e poi partendo sempre dall'uno trovare tutti i percorsi che si possono fare seguendo la regola che hai detto, andando sia avanti che indietro ...
Cordialmente, Alex
Ho notato che non è sufficiente invertire due numeri consecutivi ma anche le coppie a "due passi" di distanza ...
Ricorsivamente dovrebbe essere fattibile partendo però dalla coppia $(9, 10)$ ...
Un altro metodo può essere quello di disegnare un decagono, numerare i vertici in sequenza dall'uno al dieci e poi partendo sempre dall'uno trovare tutti i percorsi che si possono fare seguendo la regola che hai detto, andando sia avanti che indietro ...
Cordialmente, Alex
Il numero di disposizioni cercato si può ottenere ricorsivamente, ragionando sull'inizio della disposizione.
Indicando con $ n $ il più grande numero da inserire e con $ d_n $ il corrispondente numero delle disposizioni possibili abbiamo:
con $ n=1$ $ d_1=1. $ 1
con $ n=2, $ $ d_2= 1. $ 1, 2
con $ n=3, $ $ d_3= 2. $ 1, 2, 3 e 1, 3, 2.
per $ n>3 $ possiamo distinguere tre modalità iniziali:
1, 2 che può proseguire in $ d_{n-1} $ maniere diverse;
1, 3, 2 che può proseguire in $ d_{n-3} $ maniere diverse;
1, 3, 4 che è, per qualsiasi n, una disposizione unica, formata da una prima parte con tutti i dispari in ordine crescente e terminante con tutti i pari decrescenti fino a 2; raccordate con un passo +1, se n è pari, oppure -1 se è dispari.
Sarà perciò $ d_n=d_{n-1}+d_{n-3}+1. $
Leggermente semplificabile ponendo $ d_n=D_n -1: $
$ D_1=2, $ $ D_2=2, $ $ D_3= 3; $ e, con $ n>3, $ $ D_n=D_{n-1}+D_{n-3}. $
Si ottiene, come ha già trovato axpgn, $ d_{10}=46. $
Ciao
B.
Indicando con $ n $ il più grande numero da inserire e con $ d_n $ il corrispondente numero delle disposizioni possibili abbiamo:
con $ n=1$ $ d_1=1. $ 1
con $ n=2, $ $ d_2= 1. $ 1, 2
con $ n=3, $ $ d_3= 2. $ 1, 2, 3 e 1, 3, 2.
per $ n>3 $ possiamo distinguere tre modalità iniziali:
1, 2 che può proseguire in $ d_{n-1} $ maniere diverse;
1, 3, 2 che può proseguire in $ d_{n-3} $ maniere diverse;
1, 3, 4 che è, per qualsiasi n, una disposizione unica, formata da una prima parte con tutti i dispari in ordine crescente e terminante con tutti i pari decrescenti fino a 2; raccordate con un passo +1, se n è pari, oppure -1 se è dispari.
Sarà perciò $ d_n=d_{n-1}+d_{n-3}+1. $
Leggermente semplificabile ponendo $ d_n=D_n -1: $
$ D_1=2, $ $ D_2=2, $ $ D_3= 3; $ e, con $ n>3, $ $ D_n=D_{n-1}+D_{n-3}. $
Si ottiene, come ha già trovato axpgn, $ d_{10}=46. $
Ciao
B.
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