Me - but surely known: P(a^n) mod n limitato sse deg P = 0

[Sk_Anonymous]

Questo è mio, non so se sia originale, ma tenterò comunque di proporlo ai tizi dell'AMM - staremo a vedere:

"Sia $a$ un intero in modulo $> 1$. Essendo $P(\cdot) \in ZZ[x]$ un qualunque polinomio a coefficienti interi, diciamo $r_n$ il resto della divisione intera di $P(a^n)$ per $n$, per ogni $n \in \mathbb{NN}^+$. Mostrare che la sequenza $\{r_n\}_{n \ge 1}$ è limitata se e soltanto se $P(\cdot)$ ha grado zero e $P(0) \ge 0$."

EDIT: vedi oltre.

[fu^2]

chi sono i tizi dell'AMM?

[Sk_Anonymous]

"fu^2":chi sono i tizi dell'AMM?

Nella fattispecie? Doug Hensley & Co., dell'American Mathematical Monthly.

[fu^2]

scusa la curiosità, ma di che si occupano?---

[Sk_Anonymous]

"fu^2":scusa la curiosità, ma di che si occupano?---

Sono certo che zio Google lo sa. Adesso, però, ritorniamo in topic.

[Sk_Anonymous]

"giuseppe87x":Scusa la domanda che può sembrare scema; quando dici un intero in modulo maggiore di $1$ intendi un intero maggiore di $1$ o [...]

Non scusarti di nulla: intendo un intero il cui valore assoluto sia $> 1$. Così, ad es., $-2$.

EDIT: giuseppe87x, pare tu abbia rimosso il tuo post nel frattempo che io gli rispondevo...

[giuseppe87x]

Si, poi ho capito.
In ogni caso dimostrare che se $degP=0$ allora ${P(a^n) (modn)}_(n>=1)$ è limitata mi pare immediato, il problema è dimostrare l'inverso...

[Sk_Anonymous]

"giuseppe87x":In ogni caso dimostrare che se $degP=0$ allora ${P(a^n) (modn)}_(n>=1)$ è limitata mi pare immediato, il problema è dimostrare l'inverso...

No, che non è immediato - anzi è falso! Prendi ad esempio $P(x) = -1$. Definitivamente $r_n = n-1$, e perciò... Non fartene una colpa: se era sfuggito persino a me, che sono l'estensore del problema, figuriamoci! Me ne sono accorto soltanto adesso, che ho finito di mettere il tutto in LaTeX. Ad ogni modo, la parte interessante del problema è salva. Edito subito il post di apertura del thread!!!