Massimizzare la poissoniana

[Sk_Anonymous]

Questo si può considerare un gioco matematico, anche se forse è un po' più difficile.

Sia \(\displaystyle X \sim Po(\lambda) \). Quale valore di \(\displaystyle k \) massimizza \(\displaystyle P(X=k) \)?
Traduzione: quale valore di \(\displaystyle k \) massimizza l'espressione \(\displaystyle e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^{k}}{k!} \), ove \(\displaystyle \lambda \) è un parametro reale fissato?

[Palliit]

Butto lì un'ipotesi ma non sono mica tanto sicuro:

$k="Int"(lambda)$, con $"Int"$=parte intera, nell'ipotesi che $lambda>1$, viceversa è sempre $k=0$

[Sk_Anonymous]

@Pallit:

Il risultato è corretto. Come hai proceduto?

[Palliit]

Sia:__$phi_k=e^(-lambda)(lambda^k)/(k!)$; la successione $phi_k$ è strettamente crescente quando: $phi_(k+1)>phi_k$__$\Rightarrow$__[tex]e^{-\lambda }\frac{\lambda ^{k+1}}{(k+1)!}>e^{-\lambda }\frac{\lambda ^{k}}{k!}\Rightarrow \frac{\lambda }{k+1}>1\Rightarrow k<\lambda -1[/tex]; per $lambda<=1$ non si verifica mai, la successione non è crescente e quindi il primo elemento è il massimo;

per $lambda>1$ la successione cresce (in senso stretto) fino a $k="Int"(k-1)=m$ e decresce in senso stretto (in modo evidente) per $k>=m$; il maggiore tra $phi_m$ e $phi_(m+1)$ è allora il $Max(phi_n)$; vale: $phi_(m+1)=(lambda^(m+1))/((m+1)!)=lambda/(m+1)*(lambda^m)/(m!)=lambda/("Int"(lambda-1)+1)*phi_m>=phi_m$, in quanto: $lambda>="Int"(lambda-1)+1="Int"(lambda)$; quindi tra i due il massimo è in generale $phi_(m+1)$ cioè per $k=m+1="Int"(lambda)$.

[Sk_Anonymous]

@Palliit:

Ovviamente dirti "bravo" mi sembra un po' ridicolo, ché tu sei un professore (l'ho letto qui) e io ancora uno studente

Comunque io avevo risolto in altra maniera usando l'approssimazione di Stirling. Non appena ho del tempo libero posto il mio modus operandi.