MAI 3

[balestra_romani]

Ho trovato un gioco complicatissimo a cui non ho trovato soluzione sul sito della Bocconi:
http://matematica.unibocconi.it/giochi- ... enamenti-0
http://matematica.unibocconi.it/sites/d ... e-i1.q.pdf
il problema è il numero 11, si chiama MAI 3 e la soluzione è 384.
Sul sito pare che il livello sia da terza media e prima superiore.

[wanderer1]

"""
Indicizzazione quadrati
-----------------
| 0 | 1 |       |
|---|---|   4   |
| 2 | 3 |       |
|-------|--------
|       |       |
|   5   |   6   |
|       |       |
-----------------
"""

Links = [[1, 2], [0, 3, 4], [0, 3, 5], [1, 2, 4, 5], [1, 3, 6], [2, 3, 6], [4, 5]]
Matrix = [0]*7

def RecSol(n, rem):

	ret = 0
	avail = set(rem)
	for i in [j for j in Links[n] if j < n]:
		avail -= {Matrix[i] - 3, Matrix[i] + 3}
	if n == 6:
		return len(avail)
	else:
		for i in avail:
			Matrix[n] = i
			ret += RecSol(n + 1, rem - {i})
		return ret

print(RecSol(0, set(range(7))))

[balestra_romani]

L'esercizio, in teoria, dovrebbe essere risolvibile su carta da un ragazzino delle scuole medie senza l'uso di un computer ma con carta e penna.

Lo 0 non è un'opzione valida. Scusami ma non ho prestato attenzione al tuo script perché non è il tipo di soluzione corretta benché sia certamente la più valida ed intelligente.

[axpgn]

Abbiamo due coppie ($2-5$ e $3-6$) incompatibili e un trittico ($1-4-7$) "quasi" ...

Se poniamo il $4$ al centro, $1$ e $7$ possono stare solo sui due quadrati (uno piccolo e uno grande) che fanno diagonale con il $4$ e potendo scambiarsi di posto abbiamo il primo fattore $2$.
Le altre due coppie o stanno una sui quadrati piccoli e l'altra su quelli grandi oppure un quadrato piccolo e quello grande opposto per una e gli altri per l'altra. Ecco il secondo fattore due.
Le coppie possono scambiarsi tra loro. Terzo fattore due.
Infine all'interno della coppia i numeri possono scambiarsi di posto. Quarto e quinto fattore due. Totale $32$ modi.
Dato che al centro possono stare anche l'uno e il sette, moltiplichiamo per tre che fa $96$.
Quando però mettiamo l'uno o il sette al centro (e quindi il quattro in un angolo), l'altro dispari non è obbligato a stare sulla diagonale ma può occupare uno dei due quadrati laterali (p.es. grandi). Primo fattore due. E possono scambiarsi fra loro. Secondo fattore due.
Le due coppie hanno una posizione obbligata però possono scambiarsi fra di loro e scambiarsi all'interno della coppia. Tre fattori due. Inoltre, per simmetria possiamo scambiare grandi con piccolo. Sesto fattore due per un totale di $64$.

Ora mettiamo al centro uno dei numeri delle coppie (p.es. $2$) e il suo compare nell'angolo piccolo sulla diagonale.
Mettiamo l'altra coppia nei due quadrati grandi non adiacenti e il trittico negli altri posti.
I possibili scambi "interni" portano a $2*2*6=24$, le coppie possono scambiarsi e i grandi diventare piccoli quindi in totale altri $96$.
Sempre partendo con al centro un numero delle coppie e l'altro nell'angolo piccolo sulla diagonale, lasciamo il $4$ in un quadrato piccolo però nell'ultimo piccolo ci mettiamo un numero dell'altra coppia (p.es. $3$), la posizione del compare è obbligata mentre $1$ e $7$ si possono scambiare. Primo fattore due. Anche il $4$ può occupare due posizioni. Secondo fattore due. Le due coppie possono scambiarsi tra loro e scambiarsi di posto internamente, Alti tre fattori due e poi la simmetria grandi-piccoli ... e siamo a sei fattori due quindi per un totale di altri $64$ ...
Infine ...
Al centro un numero delle coppie e l'altro però nell'angolo grande sulla diagonale, lasciamo il $4$ in un quadrato piccolo perciò le altre posizioni sono obbligate ... Le due coppie possono scambiarsi tra loro e scambiarsi di posto internamente ($8$ modi), possono scambiarsi $1$ e $7$, il $4$ può occupare l'altro angolo piccolo non in diagonale ed infine la simmetria grandi-piccoli ... altre $64$ posizioni ...

Totalone: $384$

Insomma ... ... troppo difficile per quindicenni? Non solo per loro ... ... però non dovremmo dimenticarci che questa è la finale internazionale quindi ...

Cordialmente, Alex

[balestra_romani]

Mille grazie axgpn, avevo sbagliando un calcolo...

Mi consigliate un buon libro con una raccolta di esercizi di logica per le olimpiadi della matematica?

grazie