Luogo geometrico

[xXStephXx]

Dati due punti nel piano $A$ e $B$ che sono due vertici di un triangolo e fissata la lunghezza di una mediana $m$, qual è il luogo geometrico del terzo vertice?

[Sk_Anonymous]

Ma questa mediana, è relativa al lato $AB$?

Se sì, allora il luogo geometrico cercato è la superficie sferica ( sissignori, ci permettiamo anche di uscire dal piano) avente per centro il punto medio di $AB$ e raggio $m$, tolti i due punti allineati col segmento $AB$

[xXStephXx]

Va bene, ma ti sei permesso anche di scegliere il caso più semplice xDDD Ora fai l'altro caso.

[vittorino70]

Sia ABC il triangolo, con A e B fissi e C variabile. Sia poi AM la mediana relativa al lato BC con AM di misura m.
Ne segue che M può variare sulla circonferenza \(\displaystyle \gamma \) di centro A e raggio m. Da C conduciamo la parallela ad AM fino ad intersecare in D il prolungamento di AB dalla parte di A. Essendo BM=MC, sarà pure
BA=AD e ciò ci dice che D è un punto fisso : precisamente è il simmetrico di B rispetto ad A. Inoltre, essendo
\(\displaystyle CB=2\cdot MB \), è pure \(\displaystyle CD=2\cdot AM=2m \) . Pertanto, al muoversi di M su \(\displaystyle \gamma \), C descrive la circonferenza
\(\displaystyle \Gamma \) di centro il punto fisso D e raggio costante 2m. \(\displaystyle \Gamma \) è dunque il luogo richiesto. In modo analogo si ragiona considerando la mediana relativa al lato AC.

[xXStephXx]

Va bene! Oppure un'omotetia di centro $B$ che raddoppia ogni segmento.