L'oste ed il vino
Oggi mi è andato in tilt il cervello e non sono riuscito a risolvere questo problema:
Un oste ha una botte contenente 64l di vino. Decide di togliere 16l di vino e di aggiungere 16l di acqua. Il giorno seguente preleva altri 16l di liquido e aggiunge 16l di acqua. Ancora il giorno successivo toglie 16l di liquido e ne versa 16 di acqua. Quanto vino è rimasto nella botte?
Nel test c'erano cinque risposte che non ricordo, purtroppo alla fine del test hanno ritirato il libretto degli esercizi.
Grazie a tutti.
Palmer
Un oste ha una botte contenente 64l di vino. Decide di togliere 16l di vino e di aggiungere 16l di acqua. Il giorno seguente preleva altri 16l di liquido e aggiunge 16l di acqua. Ancora il giorno successivo toglie 16l di liquido e ne versa 16 di acqua. Quanto vino è rimasto nella botte?
Nel test c'erano cinque risposte che non ricordo, purtroppo alla fine del test hanno ritirato il libretto degli esercizi.
Grazie a tutti.
Palmer
Risposte
Chiamiamo d(n) la densità del vino al giorno n.
d(0)=1 (100%)
Chiamiamo V il volume della botte, V=64.
La quantità di vino presente al giorno n-esimo è
d(n) * V
La quantità di liquido prelevata sia r=16.
La quantità di vino prelevata pgni giorno è allora:
d(n) * r
La densità al giorno (n+1)-esimo sarà quindi:
d(n+1) = [d(n)*V - d(n)*r]/V = d(n) * [1-r/V]
Ovvero:
d(n) = d(0) * (1-r/V)^n
Sostituiamo i valori:
n=3
d(0)=1
r/V=1/4
d(3) = 1 * (3/4)^3 = 27/64
Cioè sono rimasti:
d(3)*V = 27/64 * 64 = 27 litri di vino
Modificato da - goblyn il 02/09/2003 17:20:21
d(0)=1 (100%)
Chiamiamo V il volume della botte, V=64.
La quantità di vino presente al giorno n-esimo è
d(n) * V
La quantità di liquido prelevata sia r=16.
La quantità di vino prelevata pgni giorno è allora:
d(n) * r
La densità al giorno (n+1)-esimo sarà quindi:
d(n+1) = [d(n)*V - d(n)*r]/V = d(n) * [1-r/V]
Ovvero:
d(n) = d(0) * (1-r/V)^n
Sostituiamo i valori:
n=3
d(0)=1
r/V=1/4
d(3) = 1 * (3/4)^3 = 27/64
Cioè sono rimasti:
d(3)*V = 27/64 * 64 = 27 litri di vino
goblyn
Modificato da - goblyn il 02/09/2003 17:20:21
Mi hai fregato sul tempo! Stavo rispondendo a questo quesito e a quello di Palmer "ancora un aiuto" quando ho visto che avevi già risposto tu. Ne conoscevo uno simile, ma con il sale e il pepe. Comunque concordo sulla soluzione.
WonderP.
WonderP.
Se hai un procedimento differente pubblicalo! Secondo me è sempre molto utile confrontare approcci e stili differenti... imparo sempre qualcosa!
fast goblyn
Il mio procedimento è molto meno rigoroso del tuo, diciamo che è più "brutale".
Ho 64 litri e ne tolgo un quarto=16 litri, quindi restano 48
del quarto che vado a togliere succassivamente 4 litri sono acqua e 12 di vino(=16*3/4), quindi rimangono 36 litri di vino.
in egual maniera per l'ultima sotterzione 12*3/4=9 litri, quindi dei 36 litri di vino rimasti ne tolglo 9 e rimangono 27.
Lo di può vedere anche come (((64-1/4)-1/4)-1/4)=27
Slow WonderP.
Ho 64 litri e ne tolgo un quarto=16 litri, quindi restano 48
del quarto che vado a togliere succassivamente 4 litri sono acqua e 12 di vino(=16*3/4), quindi rimangono 36 litri di vino.
in egual maniera per l'ultima sotterzione 12*3/4=9 litri, quindi dei 36 litri di vino rimasti ne tolglo 9 e rimangono 27.
Lo di può vedere anche come (((64-1/4)-1/4)-1/4)=27
Slow WonderP.
Ciao ragazzi vi ringrazio per l'aiuto. Vorrei chiedere a WonderP un passaggio che non mi è chiaro. Quando hai 36l non capisco perchè moltiplichi 12*3/4. 3/4 mi sembra di capire che è il rapporto tra il vino rimasto ed i litri totali quindi 48/64=3/4 che moltiplichi per 16l prelevati ed hai 12l di vino e 4 di acqua, quindi 48-12=36. Dopo di che mi hai perso.
Io avrei proseguito con 36/64 rapporto tra vino rimasto e litri totali per avere 9/16 che moltiplichi per 16(litri prelevati), risultato 9 litri di vino e 7 di acqua. Adesso sottrai 36-9=27.
La soluzione di Goblin all'inizio mi ha spaventato, molto rigorosa!! Scherzo!!! Grazie tante.
Palmer
Io avrei proseguito con 36/64 rapporto tra vino rimasto e litri totali per avere 9/16 che moltiplichi per 16(litri prelevati), risultato 9 litri di vino e 7 di acqua. Adesso sottrai 36-9=27.
La soluzione di Goblin all'inizio mi ha spaventato, molto rigorosa!! Scherzo!!! Grazie tante.
Palmer
Mamma mia! Ma cosa ho bevuto ieri?
O forse è il freddo improvviso che mi ha congelato i pochi neuroni che mi ritrovo (ieri 8°)! Sfido io che non mi hai seguito, ho scritto emerite cavolate!
Purtroppo avavo pochissimo tempo e alle spalle il bibliotecario che mi metteva fretta quindi ho lasciato l'intuito a briglia sciolta, cosa che so essere esremamente deleteria, ma...
Dopo la spiegazione della pazia di ieri passo alla spiegazione del problema.
Il tuo ragionamento è perfetto, il mio è molto simile ma fatto nei confronti di quello che va tolto e non di quello che rimane.
Per iniziare correggo IMMEDIATAMENTE il (((64-1/4)-1/4)-1/4)=27 che non vuol dire nulla, intendeva essere ((64*3/4) *3/4) *3/4=27. Non sto a scrivere quello che la mia mente ha pensato quando stavo vaneggiando.
Un consiglio prima di proseguire: il tuo ragionamento è molto più lineare, il mio è molto più da matto, quindi tieni per buono il tuo, comunque...
Ci interessa sapere quanto vino togliamo ogni volta:
La prima, ovviamente, tolgo 16 litri di vino.
La seconda, tolgo, come hai detto tu, tanto vino e tanta acqua nelle proporzioni nelle quali sono nella botte (48 e 16), quindi dei 16 litri tolti 3/4 sono vino e 1/4 è acqua, risultano 12 litri di vino estratti.
Terza, e qui i miei voli pindarici esprimono il meglio, tu parlavi di un rapporto 9/16 cioè 3/4 * 3/4. Ecco l'arcano,
16*3/4*3/4 = 12*3/4 = 9,
questo è il vino che tolgo, tutto qui.
Scusa se ti ho fatto casino,
Il vaneggiatore WonderP.
P.S. il problema del sale e pepe è:
Ho due contenitori separati contenenti uno solo sale e l'altro solo pepe nella stessa quantità. Prendo un cucchiaino di sale e lo metto nel pepe, poi mescolo, a questo punto prendo un cucchiaino (identica quantità di prima) di pepe-sale e lo metto nel sale. C'è più sale nel pepe o pepe nel sale?
O forse è il freddo improvviso che mi ha congelato i pochi neuroni che mi ritrovo (ieri 8°)! Sfido io che non mi hai seguito, ho scritto emerite cavolate! Purtroppo avavo pochissimo tempo e alle spalle il bibliotecario che mi metteva fretta quindi ho lasciato l'intuito a briglia sciolta, cosa che so essere esremamente deleteria, ma...Dopo la spiegazione della pazia di ieri passo alla spiegazione del problema.
Il tuo ragionamento è perfetto, il mio è molto simile ma fatto nei confronti di quello che va tolto e non di quello che rimane.
Per iniziare correggo IMMEDIATAMENTE il (((64-1/4)-1/4)-1/4)=27 che non vuol dire nulla, intendeva essere ((64*3/4) *3/4) *3/4=27. Non sto a scrivere quello che la mia mente ha pensato quando stavo vaneggiando.
Un consiglio prima di proseguire: il tuo ragionamento è molto più lineare, il mio è molto più da matto, quindi tieni per buono il tuo, comunque...
Ci interessa sapere quanto vino togliamo ogni volta:
La prima, ovviamente, tolgo 16 litri di vino.
La seconda, tolgo, come hai detto tu, tanto vino e tanta acqua nelle proporzioni nelle quali sono nella botte (48 e 16), quindi dei 16 litri tolti 3/4 sono vino e 1/4 è acqua, risultano 12 litri di vino estratti.
Terza, e qui i miei voli pindarici esprimono il meglio, tu parlavi di un rapporto 9/16 cioè 3/4 * 3/4. Ecco l'arcano,
16*3/4*3/4 = 12*3/4 = 9,
questo è il vino che tolgo, tutto qui.
Scusa se ti ho fatto casino,
Il vaneggiatore WonderP.
P.S. il problema del sale e pepe è:
Ho due contenitori separati contenenti uno solo sale e l'altro solo pepe nella stessa quantità. Prendo un cucchiaino di sale e lo metto nel pepe, poi mescolo, a questo punto prendo un cucchiaino (identica quantità di prima) di pepe-sale e lo metto nel sale. C'è più sale nel pepe o pepe nel sale?
Ecco dove finiva il vino dell'oste, te lo portava in biblioteca!!!! Comunque grazie mille per l'aiuto, a buon rendere.
Palmer
Palmer
A proposito del problema del pepe e del sale... ometto i conti...
Chiamiamo r la quantità contenuta in un cucchiaino e q quella contenuta inizialmente in ciascuno dei due recipienti. Allora la densità di pepe contenuta nel primo recipiente (alla fine) mi risulta:
r/(q+r)
e quella di sale nel secondo:
r/(q+r)
Quindi c'è tanto pepe nel sale quanto sale nel pepe, giusto?
Modificato da - goblyn il 03/09/2003 21:09:26
Chiamiamo r la quantità contenuta in un cucchiaino e q quella contenuta inizialmente in ciascuno dei due recipienti. Allora la densità di pepe contenuta nel primo recipiente (alla fine) mi risulta:
r/(q+r)
e quella di sale nel secondo:
r/(q+r)
Quindi c'è tanto pepe nel sale quanto sale nel pepe, giusto?
Modificato da - goblyn il 03/09/2003 21:09:26
Eh sì, Palmer, mi sa che hai proprio ragione, i litri mancanti li ho io, o meglio li avevo. 
La soluzione al problemino del sale e pepe è corretta. Diamo un esempietto numerico per i più scettici:
i due contenitori contengono 6 grammi di sale e 6 di pepe ed il cucchiaino ne può raccogliere 3
con il primo passaggio mi trovo ad avere 3 g di sale + 6 g di pepe in un contenitore. Togliendone 3 questi saranno composti a 2 di pepe e 1 di sale (secondo le proporzioni), quindi nella saliera ho 2 g di pepe, mentre nell’altro contenitore mi sono rimasti 2 g di sale!
Sei sempre grande goblyn!
Lo speziato WonderP.
La soluzione al problemino del sale e pepe è corretta. Diamo un esempietto numerico per i più scettici:
i due contenitori contengono 6 grammi di sale e 6 di pepe ed il cucchiaino ne può raccogliere 3
con il primo passaggio mi trovo ad avere 3 g di sale + 6 g di pepe in un contenitore. Togliendone 3 questi saranno composti a 2 di pepe e 1 di sale (secondo le proporzioni), quindi nella saliera ho 2 g di pepe, mentre nell’altro contenitore mi sono rimasti 2 g di sale!
Sei sempre grande goblyn!
Lo speziato WonderP.
grande un cavolo... guarda ke figura ho fatto sul limite in 2 variabili... 
Ciao a tutti.
Un punto di vista diverso per il problema del sale e del pepe, senza calcoli.
Tolgo un cucchiaino da sale da A e lo metto nel pepe di B, poi mescolo B, ne tolgo un cucchiaino di miscela e la metto in A.
Ora sia A che B sono pieni al livello originale; ne consegue che se c'è un x di pepe in A, ne manca lo stesso x di sale, che è finito tutto in B (per il famoso teorema della divergenza
).
Ciò vale qualunque sia il numero dei doppi travasi effettuati, e qualunque sia il criterio di miscelazione, che potrebbe anche esser diverso di volta in volta.
Volendo complicare ad arte il problema gli si può aggiungere specifiche sulle percentuali di "puro" e "miscelato" che compongono ogni cucchiaino prelevato, magari variabili in funzione del numero del travaso (tipo 10% più 90% al primo travaso, 15% più 85% al secondo., etc.).
Ne risulta uno sballo di difficoltà, solo apparente!
Tony.
Un punto di vista diverso per il problema del sale e del pepe, senza calcoli.
Tolgo un cucchiaino da sale da A e lo metto nel pepe di B, poi mescolo B, ne tolgo un cucchiaino di miscela e la metto in A.
Ora sia A che B sono pieni al livello originale; ne consegue che se c'è un x di pepe in A, ne manca lo stesso x di sale, che è finito tutto in B (per il famoso teorema della divergenza
).Ciò vale qualunque sia il numero dei doppi travasi effettuati, e qualunque sia il criterio di miscelazione, che potrebbe anche esser diverso di volta in volta.
Volendo complicare ad arte il problema gli si può aggiungere specifiche sulle percentuali di "puro" e "miscelato" che compongono ogni cucchiaino prelevato, magari variabili in funzione del numero del travaso (tipo 10% più 90% al primo travaso, 15% più 85% al secondo., etc.).
Ne risulta uno sballo di difficoltà, solo apparente!
Tony.
Bello! Non ci avevo mai pensato, una volta trovata una soluzione semplice è facile rendere difficile un problema, penso che dovremmo allenarci in questo per un eventuale finale dei giochi matematici.
A proposito: quando si comincia? Forse dovrei chiederlo sull’apposito forum…
WonderP.
Non ci avevo mai pensato, una volta trovata una soluzione semplice è facile rendere difficile un problema, penso che dovremmo allenarci in questo per un eventuale finale dei giochi matematici.A proposito: quando si comincia? Forse dovrei chiederlo sull’apposito forum…
WonderP.
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