L'imballatore

[axpgn]

Sul banco di lavoro del reparto manutenzione ci sono alcuni oggetti.
Alle $8.00$ precise tre operai iniziano il loro turno.
Dario imballa un oggetto ogni $15$ secondi.
Enzo porta un oggetto sul tavolo ogni $35$ secondi mentre Franco uno ogni $40$ secondi.
Il lavoro prosegue senza pause fino al momento in cui Dario può "tirare il fiato", dato che non ci sono più oggetti da imballare.
Dando un'occhiata all'orologio appeso al muro, egli nota che l'ora indicata è compresa tra le $8.45$ e le $8.46$

Quanti erano gli oggetti sul tavolo all'arrivo degli operai?


Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Se non ho sbagliato i conti:

è un numero primo e Dario non ha nulla da fare per ben 5'. Si riposerà più a lungo successivamente.

Ciao

[Super Squirrel]

@orsoulx
Non credo che Dario si possa permettere una pausa caffè, Franco si farà vedere molto prima!

[orsoulx]

@Super Squirrel,
in effetti invece di 5' avrei dovuto scrivere 5". Dilatazione relativistica?
Ciao e grazie

[axpgn]

[gabriella127]

Allora, vi dico che in base ai miei calcoli (se non li ho sbagliati, cosa altamente probabile), sul tavolo prima dell'arrivo degli operai c'erano $ 38 $ pezzi.

Vi dico il mio ragionamento, un po' euristico, ma qui non è che dobbiamo scomodare Gauss e Hilbert.

Il lavoro comincia alle 8:00 e finisce tra le 8:45 e le 8:46, quindi si ha, detto $ T $ il tempo totale di lavoro, $ 45 <= T<= 46 $, in minuti ( ho usato il minore e ugale, non il minore stretto, non so cosa intendeva il problema).
In secondi $ 2700 <= T<= 2760 $.

Quanti pezzi ha portato Franco in questo tempo $ T $ al massimo? $ 2760/40=69 $ .
Ma poiché il 69° pezzo lo porta all'ultimo secondo, Dario non avrebbe il tempo di imballarlo, quindi i pezzi portati da Franco e imballati da Dario sono solo $ 68 $ .

Passiamo a Enzo, un po' più veloce, ci mette 35 secondi a pezzo.
Nel tempo T ne porta al massimo $ 2760/35=78,85 $. Cioè $ 78 $ , poiché dobbiamo avere numeri interi.
Ce la fa Dario a imballarli tutti prima che finisca il tempo? Sì, perché $ 78xx 35=2730$, quindi ha il tempo per imballare.
(L'ultimo pezzo portato invece da Franco gli arriva al tempo 2720, ometto i calcoli, nun cià faccio, quindi ha nel complesso 40 secondi per imballare entrambi).

(Non so se mi seguite, io non mi seguo più).

Dario nel tempo $ T $ può imballare complessivamente $ 2760/15 = 184 $ pezzi.

Quindi in totale ne imballa $ 68 $ di Franco e $ 78 $ di Enzo, cioè in complesso $ 146 $ pezzi portati dagli altri operai. Poiché complessivamente ne imballa $ 184 $, gli oggetti sul tavolo prima dell'arrivo degli operai erano $ 184-146=38. $

[axpgn]

[gabriella127]

E perché no?
Che c'entrano i numeri primi?
A meno di non volere intendere che Dario deve imballare continuamente qualcosa ogni quindici secondi senza mai fermarsi, ma questo non è chiaro dal testo, da cui capisce solo che Dario ci mette 15 secondi a imballare una singola unità, almeno così l'ho inteso.

[axpgn]

Partendo dalla "fine" ti sei persa una "pausa" precedente

[gabriella127]

Sì, ma nel testo non c'è nulla che dica che non ci devono essere pause! Tranne che, a sottigliezza semantica, si intenda 'ogni 15 secondi', come un ritmo a prescindere dal tempo impiegato da Dario a imballare, ma non è che si capisca molto dal testo.
Ma se poi per ipotesi Dario imballa ogni quindici secondi, per ipotesi non c'è pausa, no?
Boh.
Insomma, che cavolo vuol dire quell' 'imballa ogni 15 secondi'?

E comunque quindi il problema non ha soluzione?
E poi non capisco, se mi spiegate che c'entrano i numeri primi, se c'è una pausa, basta un pezzo in più sul tavolo all'inizio per eliminarla.

[Super Squirrel]

"gabriella127":Che c'entrano i numeri primi?

Semplicemente per non spoilerare la soluzione @orsoulx ha detto che si tratta di un numero primo (cosa che evidentemente 38 non è).

"gabriella127":Ma se poi per ipotesi Dario imballa ogni quindici secondi, per ipotesi non c'è pausa, no?

Ipotizziamo che Dario, finito di imballare un oggetto, alzi la testa e noti che il banco è vuoto... ebbene per pausa si intende il tempo che intercorre da quel momento fino a quando Enzo o Franco portano un nuovo oggetto.
Il quesito chiede quale debba essere il numero di oggetti inizialmente sul banco affinché la prima pausa si verifichi tra le 8:45 e le 8:46.

Io ho ragionato così... ipotizziamo che ad un certo tempo t Dario finisca di imballare un oggetto e prenda dal banco l'ultimo oggetto rimasto, che finirà di imballare a t+15; ebbene t+15 sarà l'inizio di una pausa se nell'intervallo [t ; t+15] né Enzo né Franco porteranno altri oggetti al banco.
Nel caso specifico possiamo rifarci al seguente schema:



dove le tre colonne riportano rispettivamente i multipli di 15, 35 e 40.
E' inutile considerare valori di t minori di 2685 in quanto per ipotesi sappiamo che la prima pausa ricade nell'intervallo [2700 ; 2760].
Considerando t=2685, possiamo affermare che t+15=2700 non è l'inizio di una pausa in quanto nell'intervallo [2685;2700] Enzo porta un nuovo oggetto al banco (al tempo 2695).
Stesso discorso per t=2715, t=2730, t=2745.
Considerando invece t=2700, possiamo affermare che t+15=2715 è l'inizio di una pausa in quanto nell'intervallo [2700;2715] nessun nuovo oggetto viene portato al banco (la durata della pausa sarà di 2720-2715=5). Dunque gli oggetti imballati da Dario prima della pausa saranno 2715/15=181, mentre nello stesso lasso di tempo gli oggetti portati da Enzo saranno 2715/35=77 (ovviamente ho considerato la parte intera del quoziente) e quelli portati da Franco saranno 2715/40=67. Quindi gli oggetti inizialmente presenti sul banco possono essere calcolati come 181-77-67=37.

Spero di essere stato chiaro e soprattutto di non aver detto boiate!

[gabriella127]

Grazie Super Squirrel, ora ho capito. Avevo capito, da quello che aveva scritto axpgn, che c'era una pausa prima delle 8:45, cosa che mi sembrava in contrasto con il testo del problema.