Liliana, la chiaroveggente

[john_doe22661]

La maga Liliana ha ricevuto in regalo delle nuove sfere di cristallo con cui esercitarsi a leggere il futuro. Le sfere ricevute in regalo sono quattro e uguali tra loro. Sono appoggiate sul fondo di una scatola a forma di cilindro, che ha un diametro di base di 20 cm, e i loro centri formano un quadrato. Sono tangenti tra loro (a due a due), tangenti alla suprficie laterale della scatola e tangenti al coperchio della stessa quando la scatola viene chiusa. La scatola contiene anche una quinta sfera più piccola, appoggiata (sopra) alle quattro precedenti e tangente al coperchio della scatola quando questa viene chiusa. Qual è il diametro della più piccola delle cinque sfere della maga Liliana?

(Semifinale italiana dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici, sabato, 19 marzo 2011)

Divertitevi, ragazzi!

[xXStephXx]

Ho provato a fare dei calcoli ma andavo di fretta. Sono probabilmente sbagliati xD
Mi viene $(20sqrt(2))/(3+ 2sqrt(2))$

Stasera provo a fare i conti con più calma.

[GAUSSINO]

5,86 ?

[adaBTTLS1]

ti risulta che la soluzione sia questa?

$5(sqrt2-1)$

[xXStephXx]

Non so se sia lecito eh... Ma vi linko questo

[EISguys]

direi che hai sbagliato la cosa più facile: calcolare il Raggio della sfera! Hai sbagliato solo il segno al denominatore...direi che c'è un "+" e non un "-"!!
...e poi un fattore 2 perchè il problema richiede il diametro e non il raggio della sfera piccola..


ciao ciao

[GAUSSINO]

come hai calcolato il raggio della sfera grande?

[EISguys]

mm...i centri delle sfere grandi formano un quadrato di lato 2R.
il diametro del cilindro è uguale alla diagonale del quadrato suddetto ($2Rsqrt(2)$) + altri due R. Quindi risolvi l'equazione

$2Rsqrt(2)+2R=20$

da cui

$R=10/(1+sqrt(2))$

[xXStephXx]

Io una volta calcolato il raggio della sfera grande ho calcolato lo spazio che sta in mezzo tra due sfere. Poi ho fatto il disegno mostrando il piano "verticale" e col teorema di Pitagora applicato ad un'altra equazione mi son trovato il raggio della sfera piccola. Moltiplicandolo per 2 ottengo il diametro.