L'enigma delle pecore
Salve a tutti
Vorrei proporvi questo difficile enigma matematico
Due fratelli, Giovanni e Paolo si recano al mercato per vendere delle pecore. Per una bizzarra coincidenza, alla fine della giornata il numero di pecore che hanno venduto è esattamente uguale al prezzo in euro stabilito per ciscuna pecora.
Al momento di spartirsi i proventi, non sapendo fare le divisioni, i due decisono di prelevare a turno, dall'insieme dei soldi incassati, un mucchietto di dieci euro a testa, iniziando da Giovanni. Al termine di questa serie di operazioni, a Giovanni tocca l'ultimo mucchietto di 10 euro, mentre Paolo deve accontentarsi della somma rimanente ( inferiore a 10 euro).
"Anche se sei il mio fratello maggiore, non è giusto che tu guadagni più di me perchè le pecore appartenevano a tutti e due" protesta Paolo.
"Hai ragione-ribatte l'altro- vorrà dire che, per pareggiare i conti, ti darò il mio coltellino nuovo".
Detto questo, Giovanni consegna a Paolo il proprio coltellino e i due fratelli tornano a casa completamente soddisfatti.
Quanti euro vale in coltellino ??
Grazie a tutti
Vorrei proporvi questo difficile enigma matematico
Due fratelli, Giovanni e Paolo si recano al mercato per vendere delle pecore. Per una bizzarra coincidenza, alla fine della giornata il numero di pecore che hanno venduto è esattamente uguale al prezzo in euro stabilito per ciscuna pecora.
Al momento di spartirsi i proventi, non sapendo fare le divisioni, i due decisono di prelevare a turno, dall'insieme dei soldi incassati, un mucchietto di dieci euro a testa, iniziando da Giovanni. Al termine di questa serie di operazioni, a Giovanni tocca l'ultimo mucchietto di 10 euro, mentre Paolo deve accontentarsi della somma rimanente ( inferiore a 10 euro).
"Anche se sei il mio fratello maggiore, non è giusto che tu guadagni più di me perchè le pecore appartenevano a tutti e due" protesta Paolo.
"Hai ragione-ribatte l'altro- vorrà dire che, per pareggiare i conti, ti darò il mio coltellino nuovo".
Detto questo, Giovanni consegna a Paolo il proprio coltellino e i due fratelli tornano a casa completamente soddisfatti.
Quanti euro vale in coltellino ??
Grazie a tutti
Risposte
Se $n$ è il prezzo di una pecora, $n^2$ è la somma ricavata dal mercato dalla vendita di tutte le pecore.
$n^2$ è della forma $20k+10+x$ $EEk$ con $x<10$.
Il coltellino vale quindi $5-x/2$.
$x$ deve essere naturalmente un numero pari (non sto a scrivere i conti che ho fatto, ma un numero dispari elevato al quadrato è sempre congruo ad un valore inferiore a $10$ modulo $20$ e mai ad un valore superiore o uguale a $10$).
Non può valere $0, 4, 8$ perché $n^2$ risulterebbe un numero pari non multiplo di $4$ (assurdo).
Non può valere nemmeno $2$ perché un quadrato perfetto non può terminare con tale numero.
È quindi $6$ l'unico valore ammissibile per $x$, il che porta a concludere che il coltellino vale $2$ euro.
$n^2$ è della forma $20k+10+x$ $EEk$ con $x<10$.
Il coltellino vale quindi $5-x/2$.
$x$ deve essere naturalmente un numero pari (non sto a scrivere i conti che ho fatto, ma un numero dispari elevato al quadrato è sempre congruo ad un valore inferiore a $10$ modulo $20$ e mai ad un valore superiore o uguale a $10$).
Non può valere $0, 4, 8$ perché $n^2$ risulterebbe un numero pari non multiplo di $4$ (assurdo).
Non può valere nemmeno $2$ perché un quadrato perfetto non può terminare con tale numero.
È quindi $6$ l'unico valore ammissibile per $x$, il che porta a concludere che il coltellino vale $2$ euro.
Giusto? 
Si, il risultato è giusto.
Anche se io ci sono arrivato in modo un po' più empirico....
Anche se io ci sono arrivato in modo un po' più empirico....
"superpippone":
Si, il risultato è giusto.
Anche se io ci sono arrivato in modo un po' più empirico....
e come?
Si potevano considerare tutti i numeri della forma $10x+y$ con $0<=y<=9$ e calcolarne i quadrati, e vedere che solo per $y=6$ si può verificare la situazione del problema.
Si ragazzi scusate il ritardo nella risposta ma il numero che avete trovate è quello corretto. Il coltellino vale due euro.
marco9999 siccome io non ho capito la formula che hai esposto mi potresti dire quali passaggi hai fatto ?
Mi spieghi l'equazione che bisogna impostare ??
oltretutto non capisco il tuo 20k nella formula
Grazie a te e a superpippone per il vostro aiuto e contributo. Da solo non ci sarei arrivato
marco9999 siccome io non ho capito la formula che hai esposto mi potresti dire quali passaggi hai fatto ?
Mi spieghi l'equazione che bisogna impostare ??
oltretutto non capisco il tuo 20k nella formula
Grazie a te e a superpippone per il vostro aiuto e contributo. Da solo non ci sarei arrivato
Non preoccuparti per il ritardo...
Lascia stare il primo post che ho scritto (lì sono andato per esclusione e ho usato l'aritmetica modulare) e leggi qua.
Se G prende 10 euro, poi P altri 10 e così via, e l'ultimo che prende i 10 euro è G, sarà stato distribuito un numero dispari di banconote da 10 euro, quindi $2k+1$ banconote da $10$ euro per un totale di $20k+10$ euro. $x$ rappresenta invece i soldi presi da P all'ultimo giro. Quindi $20k+10+x$ È IL RICAVO COMPLESSIVO.
Inoltre, ogni numero intero positivo positivo può essere scritto nella forma $10y+z$ per qualche $y$ e $z$ (es. 1248=10*124+8), quindi calcoli il quadrato di quest'ultimo (no. pecore=prezzo a pecora) e ottieni $100y^2+20yz+z^2$. IL RICAVO PUÒ ESSERE SCRITTO ANCHE COSÌ.
Quindi tu eguagli $20k+10+x$ a $100y^2+20yz+z^2$, cioè devi trovare l'unico $x$ per cui possa verificarsi la situazione descritta dal problema. Il primo numero ha un numero dispari di decine (si vede!), quindi anche il secondo deve avere la stessa forma. Ora, $100y^2$ è multiplo di $20$, così come $20yz$, quindi $z^2$ deve avere un numero dispari di decine.
$z$ varia da $0$ a $9$ (per come l'ho definito prima). I possibili quadrati di $z$ sono:
$0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81$. Gli unici numeri che hanno la decina dispari sono $16$ e $36$. Terminano entrambi con $6$. Quindi $z^2$ termina con $6$.
È chiaro allora che G prende 10 euro, poi P altri 10, e così via... fino a che G prende gli ultimi 10 e P i 6 restanti.
G ha quindi $4$ euro più di P. Perché si possano pareggiare i conti, G dovrà dare a P $2$ euro.
Spero di essere stato più chiaro ora. Chiedi pure se c'è qualche dettaglio che ti sfugge.
Lascia stare il primo post che ho scritto (lì sono andato per esclusione e ho usato l'aritmetica modulare) e leggi qua.
Se G prende 10 euro, poi P altri 10 e così via, e l'ultimo che prende i 10 euro è G, sarà stato distribuito un numero dispari di banconote da 10 euro, quindi $2k+1$ banconote da $10$ euro per un totale di $20k+10$ euro. $x$ rappresenta invece i soldi presi da P all'ultimo giro. Quindi $20k+10+x$ È IL RICAVO COMPLESSIVO.
Inoltre, ogni numero intero positivo positivo può essere scritto nella forma $10y+z$ per qualche $y$ e $z$ (es. 1248=10*124+8), quindi calcoli il quadrato di quest'ultimo (no. pecore=prezzo a pecora) e ottieni $100y^2+20yz+z^2$. IL RICAVO PUÒ ESSERE SCRITTO ANCHE COSÌ.
Quindi tu eguagli $20k+10+x$ a $100y^2+20yz+z^2$, cioè devi trovare l'unico $x$ per cui possa verificarsi la situazione descritta dal problema. Il primo numero ha un numero dispari di decine (si vede!), quindi anche il secondo deve avere la stessa forma. Ora, $100y^2$ è multiplo di $20$, così come $20yz$, quindi $z^2$ deve avere un numero dispari di decine.
$z$ varia da $0$ a $9$ (per come l'ho definito prima). I possibili quadrati di $z$ sono:
$0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81$. Gli unici numeri che hanno la decina dispari sono $16$ e $36$. Terminano entrambi con $6$. Quindi $z^2$ termina con $6$.
È chiaro allora che G prende 10 euro, poi P altri 10, e così via... fino a che G prende gli ultimi 10 e P i 6 restanti.
G ha quindi $4$ euro più di P. Perché si possano pareggiare i conti, G dovrà dare a P $2$ euro.
Spero di essere stato più chiaro ora. Chiedi pure se c'è qualche dettaglio che ti sfugge.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo