Le strette di mano.

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Il signor Smith e la signora Smith organizzano un party con altre quattro coppie. Al party ciascuno stringe la mano solo con le persone con cui non si era mai incontrato prima. Alla fine del party il signor Smith domanda a ciascuno quante mani ha stretto e riceve nove risposte differenti.
Quante mani ha stretto la signora Smith ?

[axpgn]

$4$

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[Quinzio]

Boh.
A 'sto party ci sono 5 coppie alla fine.
La situazione e' la stessa per tutti.
Che sia la signora Smith, la signora Rossi o un altro cosa cambia ?
Quindi perche' la s. Smith dovrebbe avere una situazione diversa dagli altri e quindi si capisce la sua risposta ?

[axpgn]

@Quinzio

Perché Lei e suo marito stringono entrambi $4$ mani, ma suo marito non è nell'elenco delle risposte.
Se fossero altre due persone a stringere $4$ mani non sarebbe possibile sapere quante mani ha stretto la Signora

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

-> Alex

E per quale motivo la Signora Smith dovrebbe stringere 4 mani ?
Non puo' essere che non conosce nessuno degli invitati ?

[axpgn]

@Quinzio

Ci sono $10$ persone al party, potenzialmente ognuna potrebbe stringere $9$ mani, però sappiamo che tutte hanno già incontrato almeno una persona prima di venire alla festa, quindi il massimo potenziale è $8$.
Da $0$ a $8$ ci sono nove numeri, il Sig.Smith riceve nove risposte diverse quindi, tra questi nove, non ce ne sono due che hanno stretto lo stesso numero di mani, ne consegue anche che il Sig.Smith ha stretto un numero di mani uguale a uno degli altri nove (dieci persone > nove possibilità).
Da queste considerazioni, sappiamo quindi che una persona non ha stretto nessuna mano mentre un'altra ne ha strette $8$: queste due persone fanno parte della stessa coppia. Perché?
Supponiamo che la persona che ha stretto $8$ mani non sia in coppia con lo "zero"; ella non ha stretto la mano a sé stessa, non ha stretto la mano all'altro membro della coppia e non ha stretto la mano allo "zero", quindi al massimo $7$ strette di mano. Contraddizione.
Quindi tutti gli altri hanno stretto almeno una mano, tra questi quello che ne ha stretta solo una che fa coppia con chi ne ha stretto $7$. Perché?
Se così non fosse, la persona che ha stretto $7$ mani, oltre all'$8$ dovrebbe averla stretta ad altri $6$ ma non l'avrebbe stretta a sé stessa, all'altro membro della coppia, allo "zero", all'$1$ e all'$8$ (già contato). Impossibile.
E così via con le coppie $(2,6)$ e $(3,5)$. I due membri della coppia restante hanno quindi stretto $4$ mani ciascuno.
Ora, siccome il Sig.Smith ha ricevuto nove risposte diverse, ciò significa che nessuna delle coppie invitate è la coppia $(4,4)$ ovvero sia il Sig.Smith che la sua Signora hanno stretto $4$ mani.

Cordialmente, Alex

[Folpo13]

Assunti:

1. In una coppia i due coniugi si conoscono tra di loro (si spera ).
2. Almeno uno dei due della coppia conosce il signore o la signora Smith.
[/list:u:25yn0as2]

Al massimo quindi una persona può non conoscere $8$ partecipanti (tutti e $10$ - sé stesso/a e il suo coniuge). Per forza di cose allora le $9$ risposte sono state $0$,$1$,$2$,$...$,$8$.

Ora diciamo che $S_1$ ed $S_2$ sono i due Smith, $a_1$ e $a_2$ quelli della coppia "$a$" fino alla coppia $d$.

Se diciamo che $a_1$ ha stretto $8$ mani per forza di cose $a_2$ non ha stretto nessuna mano: c'è una persona che ha stretto $0$ mani e tutte le persone tranne $a_2$ hanno stretto almeno una mano (con $a_1$).

Se diciamo che $b_1$ ha stretto $7$ mani allora $b_2$ ne ha stretta solo $1$: se così non fosse quello che ne ha stretta solo una avrebbe stretto la mano sia a $a_1$ (che ha stretto la mano a tutti tranne a sé stesso e a $a_2$) che a $b_1$ (che deve stringere la mano a tutti tranne sé stesso, $a_2$ che non stringe la mano con nessuno e $b_2$ suo coniuge).

Allo stesso modo se $c_1$ ha stretto $6$ mani, $c_2$ ne ha strette $2$ (sennò quello che stringe $2$ mani dovrebbe paradossalmente stringerle con $a_1$, $b_1$ e $c_1$) e, infine rimangono $d_1$ e $d_2$ con rispettivamente $5$ e $3$ strette di mani.

Nei due coniugi di una coppia $u$, $u_1$ stringe le mani ad entrambi $S_1$ e $S_2$, invece $u_2$ a nessuno dei due. Entrambi gli Smith ricevono quindi una stretta di mano da ognuna delle $4$ famiglie: la signora Smith stringe $4$ mani.

Spero di non aver fatto errori

[Quinzio]

Ok

[axpgn]

@Folpo13

L'assunzione n.2 non fa parte delle condizioni poste dal testo cioè non è un'ipotesi necessaria per arrivare alla soluzione; ne è invece una conseguenza.

Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Non rispondo perché già c'è axpgn che da le risposte al posto mio, dicendo le stesse identiche cose che vorrei dire io dicendole pure meglio di me. Dunque...

[axpgn]

Esagerato!

[Folpo13]

"axpgn":@Folpo13
L'assunzione n.2 non fa parte delle condizioni poste dal testo cioè non è un'ipotesi necessaria per arrivare alla soluzione; ne è invece una conseguenza.

Cordialmente, Alex

Realizzo ora che non è utile in questa situazione. Comunque è ragionevole pensare che se una coppia è invitata è perché i "padroni di casa" conoscono almeno uno dei due

[axpgn]

@Folpo13

Certamente è ragionevole ma non è tra le condizioni fornite dal problema né tantomeno è necessaria; casomai potremmo considerarla un corollario

Cordialmente, Alex