Le 5 coperte
Propongo il seguente problema geometrico:
Determinare il raggio del cerchio massimo che si può coprire completamente utilizzando 5 "coperte" circolari di raggio 1 m
Marcello
Determinare il raggio del cerchio massimo che si può coprire completamente utilizzando 5 "coperte" circolari di raggio 1 m
Marcello
Risposte
sicuramente dico una fesseria...però provo...
che sia 1,70130161670407986436308099412602m??
non so dimostrare che sia il cerchio massimo..però sai quando hai quelle intuizioni? bè questo è quello che ha pensato la mia umile mente...praticamente ho fatto il problema al contrario...ho preso un cerchio e ho disposto i 5 cerchi "interni".
ho messo i cerchi in tal modo...
tutti si intersecano nel centro del cerchio grande e poi le intersezioni di ogni cerchio col cerchio grande va a formare un pentagono regolare di lato 2m...poi fai un po' di conti (io ho usato il teorema dei seni...) e mi viene quel risultato lì...
no eh? va bè però era carina l'idea del pentagono!!!!
'notte
il vecchio
che sia 1,70130161670407986436308099412602m??
non so dimostrare che sia il cerchio massimo..però sai quando hai quelle intuizioni? bè questo è quello che ha pensato la mia umile mente...praticamente ho fatto il problema al contrario...ho preso un cerchio e ho disposto i 5 cerchi "interni".
ho messo i cerchi in tal modo...
tutti si intersecano nel centro del cerchio grande e poi le intersezioni di ogni cerchio col cerchio grande va a formare un pentagono regolare di lato 2m...poi fai un po' di conti (io ho usato il teorema dei seni...) e mi viene quel risultato lì...
no eh? va bè però era carina l'idea del pentagono!!!!
'notte
il vecchio
Ora ci provo anche io, ma sono curioso di sapere come vecchio a trovato tutte quelle cifre significative. Che programma hai usato?
vecchio,
sei sicuro del risultato che hai ottenuto? Credo che disponendo i cerchi in modo tale che si intersechino nel centro, le intersezioni tra le 5 coperte circolari ed il cerchio grande non formano un pentagono regolare di lato esattamente pari a 2 m ma più piccolo.
Marcello
sei sicuro del risultato che hai ottenuto? Credo che disponendo i cerchi in modo tale che si intersechino nel centro, le intersezioni tra le 5 coperte circolari ed il cerchio grande non formano un pentagono regolare di lato esattamente pari a 2 m ma più piccolo.
Marcello
bè se mi dici così...
effettivamente hai ragione tu!!!
avevo fatto il disegno troppo piccolo e mi ha tratto in inganno...
il lato del pentagono dovrebbe misurare 2sen72=1,90211303259030714423287866675876m
mentre allora il raggio della circonferenza max è
R=1,61803398874989484820458683436564m
è giusto??
per WonderP...per fare i conti non ho usato nessun programma particolare...solo l'umilissima calcolatrice di Windows...[;p]
ciao
il vecchio
effettivamente hai ragione tu!!!
avevo fatto il disegno troppo piccolo e mi ha tratto in inganno...il lato del pentagono dovrebbe misurare 2sen72=1,90211303259030714423287866675876m
mentre allora il raggio della circonferenza max è
R=1,61803398874989484820458683436564m
è giusto??
per WonderP...per fare i conti non ho usato nessun programma particolare...solo l'umilissima calcolatrice di Windows...[;p]
ciao
il vecchio
vecchio,
il valore del raggio da te ottenuto è corretto ma non è il valore massimo che si può ottenere.
La soluzione che hai ottenuto è quella che corrisponde a 5 cerchi aventi i centri disposti ai vertici di un pentagono regolare quando questi distano 1 m dal centro. Il valore del raggio massimo che hai ottenuto è infatti la "grande sezione aurea". Troverai qui approfondimenti al riguardo. E' ancora possibile disporre le 5 "coperte" in modo che la circonferenza coperta sia un po' più grande.
Marcello
Modificato da - Jeckyll il 09/01/2004 15:23:37
il valore del raggio da te ottenuto è corretto ma non è il valore massimo che si può ottenere.
La soluzione che hai ottenuto è quella che corrisponde a 5 cerchi aventi i centri disposti ai vertici di un pentagono regolare quando questi distano 1 m dal centro. Il valore del raggio massimo che hai ottenuto è infatti la "grande sezione aurea". Troverai qui approfondimenti al riguardo. E' ancora possibile disporre le 5 "coperte" in modo che la circonferenza coperta sia un po' più grande.
Marcello
Modificato da - Jeckyll il 09/01/2004 15:23:37
Io ho trovato un valore migliore rispetto a quello di Vecchio.
Disponendo il punto di intersezione di tre coperte al centro del cerchio (in modo che si ottenga un figura a forma di trifoglio) e le altre due lateralmente in modo che gli estremi di un loro diametro si trovino sul cerchio si può coprire un cerchio il cui raggio è di 1,6394...m.
Disponendo il punto di intersezione di tre coperte al centro del cerchio (in modo che si ottenga un figura a forma di trifoglio) e le altre due lateralmente in modo che gli estremi di un loro diametro si trovino sul cerchio si può coprire un cerchio il cui raggio è di 1,6394...m.
MaMo,
ci siamo quasi. L'idea di disporre i cerchi laterali in modo che gli estremi del loro diametro finiscano sul cerchio grande è quella giusta. Ma il cerchio che si può coprire può essere ancora un po' più grande.
Marcello
ci siamo quasi. L'idea di disporre i cerchi laterali in modo che gli estremi del loro diametro finiscano sul cerchio grande è quella giusta. Ma il cerchio che si può coprire può essere ancora un po' più grande.
Marcello
Cercando in rete ho trovato la soluzione numerica.
Il problema inverso infatti si trova sul sito inglese http://mathworld.wolfram.com/FiveDisksProblem.html
Da esso si ricava che il cerchio massimo copribile ha il raggio di 1,641...m.
Per quanto riguarda la disposizione delle cinque coperte suppongo che sia molto vicina a quella da me già descritta nel post precedente.
Probabilmente l'intersezione delle tre coperte non coincide con il centro del cerchio e questo implica lo studio di una funzione di una certa complessità.
Il problema inverso infatti si trova sul sito inglese http://mathworld.wolfram.com/FiveDisksProblem.html
Da esso si ricava che il cerchio massimo copribile ha il raggio di 1,641...m.
Per quanto riguarda la disposizione delle cinque coperte suppongo che sia molto vicina a quella da me già descritta nel post precedente.
Probabilmente l'intersezione delle tre coperte non coincide con il centro del cerchio e questo implica lo studio di una funzione di una certa complessità.
MaMo,
il sito della wolfram è incredibile!
Il problema delle 5 coperte l'ho trovato in un mio vecchio libro di giochi matematichi che ho rispolverato da quando frequento questo forum. L'autore è Martin Gardner ed il titolo è "enigmi e giochi matematici".
Quando ho provato a risolvere il problema ho trovato la stessa soluzione di vecchio. Convinto che fosse giusta ho guardato la soluzione nel libro scoprendo che era diversa. Sul libro il problema è riportato sottoforma di aneddoto e non ci sono dettagli matematici. La stessa soluzione è indicata solo attraverso una figura.
Dopo aver capito che il trucco stava nell'imporre che le estremità dei diametri dei cerchi laterali appartenessero alla circonferenza grande, mi sono anche accorto che il raggio di tale cerchio poteva variare se si variava la distanza fra i centri dei due cerchi in basso nella figura qui riportata.
Il problema l'ho risolto numericamente ed ho trovato lo stesso valore che hai riportato tu dal sito della wolfram: R=1.6410044636...m
Comunque ti faccio i miei complimenti poiché sin da subito, anche se non hai ottenuto il valore massimo, hai intuito qual'era la strada giusta. Io considero valida per me la stessa soluzione data vecchio. Quella corretta l'ho ottenuta perché già sapevo dove cercare
Cordiali Saluti,
Marcello
Modificato da - Jeckyll il 10/01/2004 17:29:43
il sito della wolfram è incredibile!
Il problema delle 5 coperte l'ho trovato in un mio vecchio libro di giochi matematichi che ho rispolverato da quando frequento questo forum. L'autore è Martin Gardner ed il titolo è "enigmi e giochi matematici".
Quando ho provato a risolvere il problema ho trovato la stessa soluzione di vecchio. Convinto che fosse giusta ho guardato la soluzione nel libro scoprendo che era diversa. Sul libro il problema è riportato sottoforma di aneddoto e non ci sono dettagli matematici. La stessa soluzione è indicata solo attraverso una figura.
Dopo aver capito che il trucco stava nell'imporre che le estremità dei diametri dei cerchi laterali appartenessero alla circonferenza grande, mi sono anche accorto che il raggio di tale cerchio poteva variare se si variava la distanza fra i centri dei due cerchi in basso nella figura qui riportata.
Il problema l'ho risolto numericamente ed ho trovato lo stesso valore che hai riportato tu dal sito della wolfram: R=1.6410044636...m
Comunque ti faccio i miei complimenti poiché sin da subito, anche se non hai ottenuto il valore massimo, hai intuito qual'era la strada giusta. Io considero valida per me la stessa soluzione data vecchio. Quella corretta l'ho ottenuta perché già sapevo dove cercare
Cordiali Saluti,
Marcello
Modificato da - Jeckyll il 10/01/2004 17:29:43
Ho controllato la soluzione ed ho trovato una funzione di 8° grado in forma implicita che lega il raggio del cerchio e la distanza tra il punto di intersezione delle tre coperte centrali con il centro del cerchio.
Ho inoltre verificato graficamente con Derive che il cerchio massimo si ha quando tale distanza è di 0.0468466...m.
Ho inoltre verificato graficamente con Derive che il cerchio massimo si ha quando tale distanza è di 0.0468466...m.
apprezzo molto quanto detto da Jeckyll...ma a dire la verità devo ancora capire il procedimento di Mamo...ora ci penso un po'...poi vedremo... 
intanto complimentissimi a Mamo, che come al solito si è rivelato all'altezza della situazione!!!
P.S.
per il futuro...non compriamo + tappeti circolari ok?
ciao
il vecchio
intanto complimentissimi a Mamo, che come al solito si è rivelato all'altezza della situazione!!!
P.S.
per il futuro...non compriamo + tappeti circolari ok?
ciao
il vecchio
Io ho impostato il problema in modo da ottenere il raggio del cerchio grande in funzione della distanza "d" fra i centri dei due cerchi disegnati in basso nella figura del link. Tale funzione, per la sua estrema complessità, l'ho ottenuta in forma implicita. In seguito ho determinato numericamente per quale valore di "d" il raggio del cerchio grande aveva il suo valore massimo. Ho ottenuto che il valore del raggio massimo, riportato nel post precedente (le cifre riportate sono affidabili), si ha quando d/2= 0.603874109... m. Mentre la distanza tra il centro del cerchio grande ed il punto di intersezione tra le tre coperte mi è venuta 0.04684505... m
Marcello
Marcello
Io ho impostato il problema in modo da ottenere il raggio del cerchio grande in funzione della distanza "d" fra i centri dei due cerchi disegnati in basso nella figura del link. Tale funzione, per la sua estrema complessità, l'ho ottenuta in forma implicita. In seguito ho determinato numericamente per quale valore di "d" il raggio del cerchio grande aveva il suo valore massimo. Ho ottenuto che il valore del raggio massimo, riportato nel post precedente (le cifre riportate sono affidabili), si ha quando d/2= 0.603874109... m. Mentre la distanza tra il centro del cerchio grande ed il punto di intersezione tra le tre coperte mi è venuta 0.04684505... m
Marcello
P.S. vecchio, forse hai ragione tu... meglio lasciare stare le coperte circolari
Marcello
P.S. vecchio, forse hai ragione tu... meglio lasciare stare le coperte circolari
Ciao Jeckyll,
purtroppo ho scoperto ke frequenti questo forum troppo tardi x poter provare a risolvere il tuo questito.... cmq vedo che non hai cambiato le buone vecchie abitudini (chissa ke ne dice la tua mogliettina dei tappeti circolari.... eheh forse state arredando il salotto???).
Un saluto da un tuo collega PhD ancora inpantanato all'unict.
purtroppo ho scoperto ke frequenti questo forum troppo tardi x poter provare a risolvere il tuo questito.... cmq vedo che non hai cambiato le buone vecchie abitudini (chissa ke ne dice la tua mogliettina dei tappeti circolari.... eheh forse state arredando il salotto???).
Un saluto da un tuo collega PhD ancora inpantanato all'unict.
Ciao Barney,
eh si! Le vecchie abitudini mi perseguiteranno fino alla tomba
Ciao,
Marcello
P.S. Tu sai chi mi devi salutare vero? (Ué!)
eh si! Le vecchie abitudini mi perseguiteranno fino alla tomba
Ciao,
Marcello
P.S. Tu sai chi mi devi salutare vero? (Ué!)
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