Lancio di palline di neve

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Ci sono \(n \geq 2 \) persone a distanze distinte uno dall'altro, ciascuno lancia una pallina di neve verso la persone più vicina a sé! Per quali \(n\) c'è una persona che non verrà colpita di sicuro?

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Cowgirls

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Non è proprio uguale, nel tuo thread sono 5

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Sì, lo so, ma mi pare che il ragionamento fatto là mi porta a dire ...

dispari, no?

Adesso non ho voglia (né tempo) di scrivere la dimostrazione

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Una dimostrazione potrebbe essere questa ...

Se $n$ è pari, è possibile che esistano solo coppie molto vicine e distanti dalle altre coppie e quindi non è garantito che qualcuno si salvi.

Se $n$ è dispari, tolte le coppie molto vicine come prima, rimane comunque almeno una persona spaiata che non verrà colpita da nessuno.
Se ne rimangono più di uno, questi sono necessariamente dispari; quello più vicino a qualcuno in coppia colpirà quest'ultimo ma non verrà colpito da questo.
Ora, se nessuno può colpirlo allora ci sarà almeno una persona incolume, altrimenti verrà colpito da qualcuno che però prenderà il suo posto. E così via fino ad esaurimento ...

[axpgn]

Per caso, ho appena letto una variante dello stesso problema ma esteso

Lo ripropongo:

Ci sono $2n+1$ persone su un piano disposte in modo che le distanze tra ogni coppia siano differenti.
Ognuna di esse tira una palla di neve alla persona più vicina.

Provare che:

a) Almeno una persona non viene colpita [[size=85]la soluzione proposta è molto più carina della mia[/size] ]

b) Nessuno viene colpito da più di cinque palline

c) Le traiettorie delle palline non si incrociano

d) L'insieme dei segmenti formato dalle traiettorie delle palline non contiene un poligono chiuso.