La strada più breve.

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Nel paese di 3m0olandia ci sono due città, chiamate A e B. Le città sono separate da una catena montuosa. Da entrambe le città partono due strade, A1 e A2, e B1 e B2 tutte percorribili in entrambi i sensi.
A1 è una superstrada che parte da A e si congiunge con B2 che è una stradina di montagna che porta ad B. Analogamente B1 è una superstrada che parte da B e si congiunge con A2, anch'essa una stradina di montagna che porta a A.
Il tempo di percorrenza di A1 e B1 sono 11 ore indipendentemente dalla quantità di macchine, poiché raggirano la montagna.
Il tempo di percorrenza di A2 e B2 è di 1 ora per ogni 100 macchine in un senso, questo vuol dire che se ci sono 200 macchine, che vanno nella stessa direzione il tempo per loro è di 2 ore, etc.

Il governo dopo un attenta analisi del terreno vede la possibilità di costruire un tunnel T nella montagna per collegare A2 direttamente con B2 con tempo di percorrenza di 1 ora indipendentemente dalla quantità di macchine. Sapendo che ogni mattina 800 macchine partono da A per andare a B e che 800 macchine partono da B per andare in A e che ogni automobilista sceglie il percorso più breve per se stesso.
Al governo conviene costruire il tunnel per diminuire il tempo di percorrenza tra le due città?

[axpgn]

Sperando di aver capito la situazione (ma ne dubito), direi che nella situazione attuale occorrano $19$ ore per andare da $A$ a $B$ mentre col tunnel dovrebbero essere al massimo $8+1+8=17$
Isn't it?

Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

No is not!

[Drazen77]

Si può avere un disegno della mappa? Io me la sono immaginata così:

19 ore senza tunnel, 17 ore con il tunnel.

Ma poi non ho capito i tempi di percorrenza: gli 800 che partono da A (e da B), per percorrere la stradina di montagna impiegano tutti 8 ore? O il primo impiega 1/100 di ora, il secondo 2/100 di ora, ecc.
Come funziona?
In ogni caso mi sembra che convenga sempre prendere il tunnel.

[axpgn]

3m0o

Come pensavo non l'ho capito ma non l'ho capito anche perché non è un problema ben definito.
Per esempio, come dice Drazen, se in $A2$ passa un solo automobilista ci mette $1/100$ di ora per completare tutto il tratto o ci impiega comunque un'ora? In entrambi i casi è poco sensato ...
E poi a che punto si innesta il tunnel sulle due strade? Se si innestasse all'inizio di $A2$ e di $B2$ ci vorrebbe solo un'ora per andare da una città all'altra; ma non solo, a seconda del punto di innesto come cambierebbe il tempo di percorrenza, in proporzione alla lunghezza dei tratti oppure no?
Tu dici che ogni automobilista sceglierebbe il discorso più breve per sé stesso ma come può conoscerlo a priori se dipende dalle scelte degli altri?
Insomma, mancano un po' di dati ...

Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Drazen77 and axpgn

La mappa può andar bene. Comunque avete capito il problema. Infatti le 17 ore con il tunnel sono giuste, ma sono le 19 ore senza tunnel ad essere sbagliate. O meglio le strade alternative hanno un tempo di percorrenza di 19 ore se c'è il tunnel, ma se non c'è il tunnel no.

Poi un po' di elasticità, insomma sono automobilistici teorici hanno l'informazione del tempo di percorrenza, che poi non è cosi diverso dalla realtà poiché esiste ad esempio google maps che dà informazione quasi in tempo reale sul flusso del traffico e dei tempi di percorrenza. Per finire, per semplificare un po' il problema anche se è irrealistico ogni 100 auto aumenta di 1 ora il tempo di percorrenza, quindi se ci sono da 1 a 100 auto ci vuole 1 ora, se ci vuole da 101 a 200 auto ci vogliono 2 ore, etc. Ma se 300 auto decidono di imboccare una strada non è che i primi 100 ci mettono 1 ora i secondi 100 ci mettono 2 etc, ma tutte ce ne mettono 3 ore.
(forse con i minuti invece delle ore diventa già più sensato).

E se mi dite che è un problema non realistico beh qui vi sbagliate perché in diverse città tra cui Seul, New York e Stoccarda hanno studiato un problema molto simile per diminuire i flussi di traffico nella città e sono tutti arrivati alla stessa conclusione, anche perché non è un problema che ho inventato io, ho riportato la versione "schematizzata"/semplificata solamente.

[axpgn]

Rispondi alle domande che ho fatto poi se ne riparla
Anche perché nella realtà tutte quelle condizioni le considerano ...

Era chiaro che le $19$ ore sono il massimo se tutti vanno dalla stessa parte ma se non si chiariscono gli altri aspetti, il problema non è ben posto.
Ti ripeto l'esempio che ho scritto prima: se il tunnel parte all'inizio di $A2$ e termina all'inizio di $B2$ allora il tempo complessivo è di un'ora soltanto

Cordialmente, Alex

P.S.:

Io non uso navigatori eppure arrivo dappertutto e prima di chi c'è l'ha; non hai idea di quanti autisti (specialmente di camion) ho aiutato ad uscire da vicoli ciechi o a ritrovare la strada giusta

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Mi sembra di aver risposto..

Se il tempo massimo corretto è 19 ore, dove entra il tunnel?

[axpgn]

Ma no che non hai risposto

Se fosse così, la soluzione sarebbe banale: il tunnel collegherebbe direttamente A con B e la durata sarebbe di un'ora soltanto; qualsiasi collegamento intermedio porterebbe ad una durata massima maggiore di $19$.
Inoltre non hai detto niente su quale sarebbe il tempo di percorrenza in caso di percorso parziale: fisso o proporzionale?
Insomma ...

Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Dai non hai capito quello che ho scritto.

Senza tunnel
Un automobilista che parte da A ha 2 possibilità.
1.1) percorrere tutta la strada A1 impiegandoci 11 ore poi percorrere tutta la strada B2 impiegandoci ?? ore.
1.2) percorrere tutta la strada A2 impiegandoci ?? ore poi percorrere tutta la strada B1 impiegandoci 11 ore.
I percorsi nel verso opposto li possono fare gli automobilisti che partono da B.

Con un il tunnel
Un auto che parte da A ha 3 possibilità
2.1) percorrere tutta la strada A1 impiegandoci 11 ore poi percorrere tutta la strada B2 impiegandoci ?? ore.
2.2) percorrere tutta la strada A2 impiegandoci ?? ore poi percorrere tutta la strada B1 impiegandoci 11 ore.
2.3) percorrere tutta la strada A2 impiegandoci ?? ore poi percorrere tutto il tunnel T impiegandoci 1 ora poi percorrere tutta la strada B2 impiegandoci ?? ore.
I percorsi nel verso opposto per le auto che partono da B.

Cosa intendi con tempo fisso o tempo proporzionale?
Sulle strade A2 e B2 un automobilista ci impiega \( \frac{x}{100} \) ore a percorrere la strada, dove \( x \) è il numero di macchine presenti sulla strada che vanno nel suo stesso senso (da A a B oppure da B verso A)

Per semplicità NON consideriamo che la prima macchina ci mette 1/100 di ora, la seconda macchina ci mette 2/100 di ora, etc, ma se dite che una strada la imboccano in 500 auto ad esempio allora tutte e 500 le auto ci impiegheranno 500/100=5 ore!!

Ho risposto??

una mappa molto brutta:
https://imgur.com/a/vPCT5m6

[axpgn]

"3m0o":Ho risposto??

No

"3m0o":Dai non hai capito quello che ho scritto.

Questo l'ho detto prima io

Comunque, adesso è quasi a posto

Senza tunnel, la situazione è simmetrica quindi si divideranno su entrambi percorsi impiegandoci 15 ore.
Col tunnel, chi parte da A2 non proseguirà mai su B1 perché ci metterebbe sempre di più e d'altra parte nessuno partirebbe da A1 perché impiegherebbe sempre più di tempo di chi farebbe A2+tunnel.
Perciò farebbero tutti A2+tunnel+B2 impiegando $17$ ore.
Il tunnel non serve.

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

"axpgn":
Il tunnel non serve.

In questo gioco NO TAV

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"axpgn":[quote="3m0o"]Ho risposto??

No
[/quote]

"axpgn":
[quote="3m0o"]Dai non hai capito quello che ho scritto.

Questo l'ho detto prima io
[/quote]
Ho scritto 19, ma intendevo 17, e con quel tempo c'è solo un modo per cui il tunnel colleghi le due strade

"axpgn":

Senza tunnel, la situazione è simmetrica quindi si divideranno su entrambi percorsi impiegandoci 15 ore.
Col tunnel, chi parte da A2 non proseguirà mai su B1 perché ci metterebbe sempre di più e d'altra parte nessuno partirebbe da A1 perché impiegherebbe sempre più di tempo di chi farebbe A2+tunnel.
Perciò farebbero tutti A2+tunnel+B2 impiegando $17$ ore.
Il tunnel non serve.

Cordialmente, Alex

Lo trovo molto interessante, perché è una sorta di dilemma del prigioniero multiplayer. Si chiama Paradosso di Braess (anche se non è un paradosso)

"Drazen77":

[quote="axpgn"]
Il tunnel non serve.

In questo gioco NO TAV

[axpgn]

"Drazen77":

In questo gioco NO TAV

@3m0o
Non dirmi che la seconda "stesura" é equivalente alla prima ...