La Ruota della Fortuna

[al_berto]

Buongiorno,
Un mio amico mi ha raccontato che ad un Luna Park c’era la Ruota della Fortuna.
Su un cartello c’èra scritto :
un gettone 3 € ."
Il gestore girava la ruota ogni 3 minuti. La ruota era divisa in 10 settori identici: su 2 settori si vinceva un oggetto, su 5 si vinceva un gettone gratis e su 3 si perdeva. Durante i 3 minuti distribuiva i premi vinti ed i gettoni, e ricominciava una nuova partita. Altro giro altro regalo!
Mi domando e domando a voi, acquistando 1 gettone, proprio all'inizio della partita, qual è, in media, il tempo passato a questo stand?
Grazie.
aldo

[orsoulx]

3 minuti + il tempo per girare la ruota + il tempo per ritirare il premio se si ha vinto all'ultimo colpo + tutto il tempo che si vuole passare ad osservare come procede il gioco per gli altri.

Ciao
B.

[al_berto]

Grazie ciao

[@melia]

Mediamente due giri di ruota, quindi 6 minuti.
Infatti se al primo giro di ruota ci sono n persone, di queste solo la metà ottiene un altro gettone per giocare, e così al giro successivo...
In pratica per calcolare la media dei giri di permanenza si deve fare
$(n+1/2n+1/2^2 n+ ... )/n= (n*(1+1/2+1/2^2+ ...))/n = 1+1/2+1/2^2+ ... $
ma questa è la somma di una progressione geometrica
$1+1/2+1/2^2+ ...=1/(1-1/2) = 2$
Quindi mediamente si rimane alla ruota per 2 giri, $2*3=6$ cioè 6 minuti

In realtà un po' di meno perché il numero di giri in una serata non tende a $+oo$

[orsoulx]

@@melia:

Il calcolo del numero medio di giocate è esatto. Quello del tempo no.
Il problema fornisce una descrizione dettagliata (fin troppo) della procedura di gioco, omettendo le misure esatte di alcune operazioni e cercando di ingannare proprio coloro che hanno maggior consuetudine con la matematica.

Fra l'altro il numero medio (m) di giocate si può calcolare agevolmente anche senza conoscere le serie.
$ m=1/2 1+ 1/2 (m+1) $ è la 'traduzione' di il valore medio iniziale è uguale a 1 quando il gioco termina al primo colpo ( con probabilità $ 1/2 $ ) oppure $ m+1 $ in caso contrario.

Ciao
B.