La moneta nel quadrato

[axpgn]

Nelle Fiere di una volta c'era un giochino che funzionava così …

C'è un tavolo sul quale è disegnata una griglia formata da quadratini con lato da un pollice.
Il giocatore lancia una moneta da un penny (dal diametro di tre quarti di pollice) da una distanza di un paio di metri: se la moneta cade interamente internamente a un quadrato allora vince cinque centesimi (ma non gli ritornano il suo ), altrimenti lo perde.
Assumendo che il penny cada sul tavolo, qual è la probabilità di vincere?

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

1/16

[axpgn]

Bene, però voglio la dimostrazione (anche per chi ci legge )

Cordialmente, Alex

[andomito]

Consideriamo un solo riquadro, per gli altri la situazione si ripete (ammesso che il tavolo sia parecchio più grande di un pollice gli effetti di bordo li trascuriamo, così come trascuriamo lo spessore della riga).
Il centro della moneta dovrà collocarsi in un quadrato concentrico di lato 1/4 di pollice (al bordo di esso difatti la moneta di raggio 3/8 di pollice inizia a toccare la riga che dista appunto 3/8 di pollice dal quadratino interno)
Tale quadratino ha area 1/16 di pollice
Il rapporto con l'area del riquadro (ovvero la probabilità di avere configurazioni vincenti) è dunque 1/16
cvd

Aggiungerei che visto che pagano 5 contro una puntata di 1, e non 16 come sarebbe statisticamente equo, il gioco è fortemente sbilanciato a favore del banco (ulteriormente favorito dalla possibilità tutt'altro che remota che la moneta rotoli giù dal tavolo e dallo spessore non infinitesimo delle righe) .
Ciò però è vero solo se il tiro si basa sulla fortuna (come nella maggior parte dei casi). Ma non si può escludere che entri in gioco anche l'abilità: avendo a che fare con un "occhio di falco", le reali possibilità di vittoria del banco potrebbero collassare.

[axpgn]

Spoiler, please

[axpgn]

"andomito":… avendo a che fare con un "occhio di falco", le reali possibilità di vittoria del banco potrebbero collassare.

Dubito molto … ... anche perchè, come hai detto, nella realtà, il tavolo bisogna prima centrarlo a cui va aggiunta la malizia del gestore che "appesantisce" le linee ... a tal proposito, a quanto si riduce la probabilità se le righe sono spesse $1/16$ di pollice?

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

@Alex
Troppo tardi. L'ho trovato carino. Non so dove li prendi ma i tuoi quesiti sono sempre interessanti.

[axpgn]

Grazie ma non li "invento" io … li trovo sui libri delle biblioteche (di solito vecchi libri che pochi o nessuno guarda più … )

E che mi dici se teniamo conto dello spessore ?

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

"axpgn":
E che mi dici se teniamo conto dello spessore ?

$16/17^2$ ?

[axpgn]

No

[Bokonon]

Visto che non vi sono info sulla griglia completa, devo assumere che la moneta venga lanciata e cada dentro una sezione formata da 4 quadrati, che hanno lato $1+1/16=17/16$
Non puoi includere il bordo della griglia totale senza dare altre info.
Cos'è che non torna secondo te?

[axpgn]

Forse non ci siamo capiti … intendevo dire che mentre nel problema iniziale si trascurava lo spessore delle linee che formano la griglia (i vari quadrati) ovvero uno spessore nullo, in questo caso lo spessore della linea "reale" lo considero grande $1/16$ di pollice ma la lunghezza del lato del quadrato rimane la stessa ovvero dalla mezzeria di una riga all'altra ci passa un pollice.
La "malizia" del gestore consiste appunto nel mantenere gli stessi quadrati (la stessa griglia) ma nel "ripassare" le linee, ingrossandole; e questo riduce la probabilità di vincita del giocatore.
Ok?

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

"axpgn":Forse non ci siamo capiti …

No che non si era capito...veniva più naturale pensare ad una griglia in cui le righe erano state tracciate con un pennello largo 1/16 di pollice.

1/64

[axpgn]

"Bokonon":...veniva più naturale pensare ad una griglia in cui le righe erano state tracciate con un pennello largo 1/16 di pollice.

A me veniva più naturale pensare ad un pennarello che "ripassava", ingrossandole, le linee della griglia (ideale) già tracciata prima … ovvero, per esempio, si potrebbe pensare ad un tavolino di dimensioni $100\text(") xx 100\text(")$ sulla quale è tracciata una griglia (ideale) $100 xx 100$ (e quindi avremmo la probabilità di vincita già detta) mentre successivamente il gestore ripassa (preciso preciso ) tutte le linee con un pennarello, le quali diventano larghe $1/16$ di pollice … ed intendendo questo la risposta non è quella ovvero non è

$1/64$

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

Vabbuò allora lo risolviamo in tutte le salse...

$(3/16)^2$

[axpgn]

... e adesso aspettiamo andomito che ci spiega il perché (sotto spoiler però )

[andomito]

pronti…

Si tratta semplicemente di ridurre il lato del quadratino interno in cui il centro della moneta deve cadere dello spessore della linea.
Nel dettaglio, la griglia ha lato 1, cui vanno tolti due semispessori della linea (1/32 x 2) e il diametro della moneta (3/4) per avere il lato del quadratino che risulta appunto di 1-1/16-3/4=3/16
L'area del quadratino è pertanto il quadrato di tale lato, che rapportato all'area del riquadro restituisce la probabilità già indicata da Bokonon.

Insomma, il banco potrebbe permettersi di pagare 28 a 1 e ancora ci guadagnerebbe

[andomito]

Giusto per curiosità, il penny storico (non decimale) è sempre stato ben più grande di un pollice (dai 7/5 ai 6/5 a seconda dei periodi).
Il penny decimale introdotto nel 1971 è comunque più grande di 3/4 di pollice (4/5 di pollice se non sbaglio).
il che ovviamente fa ulteriormente peggiorare le probabilità di vittoria:

con linee sottili 1/25 = 4%,
con linee di 1/16 di pollice (11/80)² = 1,9 %

Ma stavolta la spiegazione non la do.

Ulteriore curiosità: dal '92 ha un nucleo in acciaio.
… si potrebbe provare ad aumentare le probabilità di vittoria magnetizzando il proprio penny e poi mirando ad uno già caduto in posizione vincente?

[andomito]

Ma se invece usassi un penny d'argento, con diametro di circa 4/9 di pollice e valore di 1,5 penny standard (in peso d'argento, il valore numismatico è probabilmente molto più alto)?
Come varierebbe la probabilità di vittoria (contando anche il maggior capitale messo a rischio)?
No non liquidatelo con "vabbè abbiamo capito" fate i conti e poi ditemi.

[axpgn]

È un penny "americano" ovvero un "cent" … stando a Wikipedia, gli americani lo chiamano anche "penny" e il diametro misura proprio tre quarti di pollice.

Volendo, nel testo c'era un indizio in tal senso e precisamente qui

"axpgn":… allora vince cinque centesimi (ma non gli ritornano il suo … )

La probabilità che il penny d'argento cada all'interno del quadrato è $25/81$ quindi poco meno di uno a tre che grossomodo è il valore del penny d'argento contro i cinque centesimi. Giusto?

Cordialmente, Alex

[andomito]