La collana di perle

[axpgn]

Una mia amica possedeva una splendida collana formata da trentatré perle con la più preziosa esattamente al centro.
Partendo da un capo le pietre preziose sono selezionate e disposte in modo tale da aumentare di valore e la differenza tra una perla e l'altra è costantemente pari a $100\ €$; lo stesso accade partendo dall'altro capo ma in questo caso l'aumento di valore è pari a $150\ €$.
Se il valore complessivo della collana è di $65000\ €$, quanto vale la pietra più bella e preziosa?

Cordialmente, Alex

[nino_12]

$3000$

$1400 - 1500 - .... - 2900 - 3000 - 2850 - ... - 750 - 600$

[dan952]

$16c-100\cdot\frac{16\cdot17}{2}+c+16c-150\cdot\frac{16\cdot17}{2}=65000\ € \Leftrightarrow c=3000\€$

[axpgn]

[Black Magic]

Se $a$ è il valore della pietra centrale, si deve avere:
$a-a_16=100$
$a_16-a_15=100$
$...
...
$

Ovvero: $a_k= a-100k$, $\forall k =1,2,..,16$
E analogamente:

$a-a_18=150$
$a_18-a_19=150$
$...
...
$
Quindi: $a_k= a-150k$, $\forall k =17,18,..,33$
Allora:
$65000 = sum_{k=1}^16 a_k +a + sum_{k=18}^33 a_k = 16a-100\frac{16*17}{2} + a +16a-150\frac{16*17}{2}$

Ovvero a = 3000, quindi la perla centrale vale 3000€!

$*$ Correzioni effettuate su osservazioni di Alex, scusate se ho omesso qualcosa

[axpgn]

Mi spieghi come fai a trovare il valore corretto con quei passaggi?

Mi spiego ...

"Black Magic":Se $ a $ è il valore della pietra centrale, si deve avere:
$ a-a_17=100 $
$ a_17-a_16=100 $
$ ... ... $

Ovvero: $ a_k= a-100k $, $ \forall k =1,2,..,16 $

Direi che se inizi a contare da uno e la perla centrale è la diciassettesima forse è meglio così ...

$ a-a_16=100 $
$ a_16-a_15=100 $
$ ... ... $
$ a_2-a_1=100 $

e quindi $ a_k= a-100(17-k) $, $ \forall k =1,2,...,16 $

Poi

"Black Magic":
$ a-a_18=150 $
$ a_18-a_19=150 $
$ ... ... $
$ a_32-a_33=150 $

Quindi: $ a_k= a-150k $, $ \forall k =17,18,..,33 $

E quindi ... no, non è così ma $ a_h= a-150(h-17) $, $ \forall h =18,19,...,33 $

Perciò il finale invece di questo

"Black Magic":$ 65000 = sum_{k=1}^16 a_k +a + sum_{k=18}^33 a_k = 16a-100\frac{16*17}{2} + a +16a-150\frac{16*17}{2} $

è questo
$ 65000 = sum_{k=1}^16 a_k +a + sum_{h=18}^33 a_h =sum_{k=1}^16 (a-100(17-k) ) +a + sum_{h=18}^33 (a-150(h-17))$

$ 65000 = sum_{k=1}^16 (a-1700+100k) +a + sum_{h=18}^33 (a-150h+2550)$

$ 65000 = 16a-27200+100*(16*17)/2 + a + 16a-150*[(33*34)/2-(17*18)/2]+40800$

$ 65000+27200-40800-13600+61200= 33a$

$ 99000= 33a$

$a=3000$

Cordialmente, Alex

[Black Magic]

Chiedo umilmente perdono per aver sbagliato gli indici nel primo pezzo , battitura pessima!

Per il resto:

Come hai potuto capire, sommando la prima equazione a tutte le altre a due a due ottengo che $a_k = 100(17-k)$, giustamente mi hai fatto notare che mi son scordato a scriverlo.
Ma $17-k$ nel nostro contesto (una somma per $k=1,2..,16$) assume gli stessi valori di $k$ e non ha importanza in che ordine li sommiamo, perché una somma finita di termini finiti e dello stesso segno è commutativa.Ho semplicemente scambiato gli indici ( prima quelle accostate a sinistra e destra della centrale le avevo numerate con k=16, poi con k=1...) e mi rendo conto che crea confusione, scusate!
Stesso discorso per l'altro capo.
Mi scuso se ho saltato passaggi obbligatori, son d'accordo che è meglio mostrarli

[axpgn]

Ho capito che avevi capito ma se metti una dimostrazione deve essere corretta, isn't it?
Quello era un bel guazzabuglio

Cordialmente, Alex