La base area
Una base area, a forma di quadrato di lato 10 km, è difesa da un sistema formato da quattro radar. Ognuno di essi è posto sul perimetro della base e controlla una area circolare di 5 km di raggio.
Se un radar entra in avaria, trovare la disposizione, sul perimetro della base, dei tre radar funzionanti che permette di:
- controllare la massima lunghezza del perimetro della base
- controllare la massima area della base.
Riferire le coordinate (esatte) dei tre radar ad un sistema di riferimento cartesiano nel quale i vertici della base sono i punti:
A(0;0), B(10;0), C(10;10), D(0;10).
Se un radar entra in avaria, trovare la disposizione, sul perimetro della base, dei tre radar funzionanti che permette di:
- controllare la massima lunghezza del perimetro della base
- controllare la massima area della base.
Riferire le coordinate (esatte) dei tre radar ad un sistema di riferimento cartesiano nel quale i vertici della base sono i punti:
A(0;0), B(10;0), C(10;10), D(0;10).
Risposte
Per ricoprire il massimo perimetro ho trovato le seguenti due diverse disposizioni dei radar (sono diverse nel senso che non si può ottenere l'una dall'altra attraverso rotazioni o riflessioni)
max perimetro 1:
R1(5/Sqrt[2];0),
R2(10;(20-5*Sqrt[2])/2),
R3(0;(10+5*Sqrt[2])/2).
max perimetro 2:
R1(5/Sqrt[2];0),
R2(5/Sqrt[2];10),
R3(10;5*Sqrt[(2*Sqrt[2]-1)/2]).
Con entrambe queste dislocazioni dei tre radar si dovrebbe coprire un perimetro di 35.387 km circa
Per quanto riguarda invece la dislocazione dei radar per ricoprire la massima area ho trovato questa disposizione:
max area:
R1(0;5),
R2(alfa;0),
R3(alfa;10).
dove alfa={35+(60875-4500*Sqrt[183])^(1/3)+(60875+4500*Sqrt[183])^(1/3)}/12
Questa dislocazione dovrebbe coprire un area di 96.997 Kmq
Questo è il meglio che sono riuscito ad ottenere
Marcello
max perimetro 1:
R1(5/Sqrt[2];0),
R2(10;(20-5*Sqrt[2])/2),
R3(0;(10+5*Sqrt[2])/2).
max perimetro 2:
R1(5/Sqrt[2];0),
R2(5/Sqrt[2];10),
R3(10;5*Sqrt[(2*Sqrt[2]-1)/2]).
Con entrambe queste dislocazioni dei tre radar si dovrebbe coprire un perimetro di 35.387 km circa
Per quanto riguarda invece la dislocazione dei radar per ricoprire la massima area ho trovato questa disposizione:
max area:
R1(0;5),
R2(alfa;0),
R3(alfa;10).
dove alfa={35+(60875-4500*Sqrt[183])^(1/3)+(60875+4500*Sqrt[183])^(1/3)}/12
Questa dislocazione dovrebbe coprire un area di 96.997 Kmq
Questo è il meglio che sono riuscito ad ottenere
Marcello
Jeckyll, la tua soluzione è solo parzialmente esatta.
Infatti l'area massima coperta dai tre radar è quella da te indicata mentre la lunghezza del perimetro della base può essere ancora migliorata.
Infatti l'area massima coperta dai tre radar è quella da te indicata mentre la lunghezza del perimetro della base può essere ancora migliorata.
"Il meglio è nemico del bene"
Perimetro: 39,123 km
Chiamo a = radq(5)/2
Chiamo b = radq(5²-a²)+a = 7.07
Radar1 (a;a) copre b+b = 14.14
Radar2 ( b+[10-b]/2 ; radq(10²-x)/2 ) copre (10-b) + (radq(10²-(10-b)²)
Radar3 (radq(10²-y)/2 ; b+[10-b]/2 ) copre (10-b) + (radq(10²-(10-b)²)
Quindi 20+2*(radq(10²-(10-b)²) = 20 + 2*9.56 = 39.12 km
Inserisco un disegno qualitativo
Chiamo a = radq(5)/2
Chiamo b = radq(5²-a²)+a = 7.07
Radar1 (a;a) copre b+b = 14.14
Radar2 ( b+[10-b]/2 ; radq(10²-x)/2 ) copre (10-b) + (radq(10²-(10-b)²)
Radar3 (radq(10²-y)/2 ; b+[10-b]/2 ) copre (10-b) + (radq(10²-(10-b)²)
Quindi 20+2*(radq(10²-(10-b)²) = 20 + 2*9.56 = 39.12 km
Inserisco un disegno qualitativo
WonderP, la tua soluzione non rispetta il vincolo imposto dal problema.
Infatti i tre radar devono trovarsi sul perimetro della base, cioè i centri dei tre cerchi devono essere sui lati del quadrato.
Il risultato da te trovato è il perimetro massimo in assoluto.
Infatti i tre radar devono trovarsi sul perimetro della base, cioè i centri dei tre cerchi devono essere sui lati del quadrato.
Il risultato da te trovato è il perimetro massimo in assoluto.
Ho trovato l'inghippo del perimetro. Avevo trovato il massimo del perimetro per la singola circonferenza e gli ho accodato la seconda circonferenza. Non ho riflettuto sul fatto che in questo caso cambiava la funzione "perimetro" e di conseguenza il suo massimo.
Propongo la seguente disposizione dei radar per coprire il massimo perimetro:
R1(5/2;0),
R2(10;5*Sqrt[3]/2),
R3(5/Sqrt[2];10).
Il perimetro coperto adesso è di 35.73 km
Marcello
Propongo la seguente disposizione dei radar per coprire il massimo perimetro:
R1(5/2;0),
R2(10;5*Sqrt[3]/2),
R3(5/Sqrt[2];10).
Il perimetro coperto adesso è di 35.73 km
Marcello
Che sbadato, anche io ritrovo le soluzioni di Jeckyll, sia la prima (con il primo tentativo che ho fatto) siaa la seconda di 35,731 km.
Jeckyll e Wonderp, la vostra soluzione del perimetro è corretta.
Propongo ora di ampliare il problema dell'area coperta dai tre radar nel caso che la loro posizione sia libera da ogni vincolo.
Propongo ora di ampliare il problema dell'area coperta dai tre radar nel caso che la loro posizione sia libera da ogni vincolo.
E' un mese che mi arrovello su cosa vuole dire "Base area" Mamo!!! Hai copiato male doveva essere "Base aerea"
dopo vari tentativi direi che l'area massima copribile senza vincoli è 99.849 km² con la medesima configurazione del perimetro maggiore raffigurato nell'immagine di qualche post fa.
WonderP.
WonderP.
WonderP, la configurazione che copre l'area massima non è quella da te indicata.
per cannigo: pensa che io non ho mai aperto il topic perchè pensavo che la "base area" fosse qualcosa che ancora non avevo studiato!! e oggi l'ho aperto così per curiosità!...
e oggi l'ho aperto così per curiosità!...
Giusto MaMo, ho trovato una configurazione migliore, ma non è l'ottimale,anche se ci vado vicino. Due radar coprono la parte inferiore della base (5 km a radar) con coordinate (2,5 ; 2,5*
3) e (7,5 ; 2,5*3) il terzo, nel centro, cerca di coprire la parte superiore ed ha coordinare (5 ; 5+2,5*3). I tre radar coprono in tutto 99,99609 km². ripeto è miglirabile spostando leggermente il radar in alto, appena ho un po' di tempo cerco di ottimizzare il tutto.
WonderP.
Modificato da - WonderP il 17/02/2004 13:16:41
3) e (7,5 ; 2,5*3) il terzo, nel centro, cerca di coprire la parte superiore ed ha coordinare (5 ; 5+2,5*3). I tre radar coprono in tutto 99,99609 km². ripeto è miglirabile spostando leggermente il radar in alto, appena ho un po' di tempo cerco di ottimizzare il tutto.WonderP.
Modificato da - WonderP il 17/02/2004 13:16:41
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