KANGOUROU 2009 - Cadet
Vorrei proporre dei problemi del kangourou della matematica 2009 (cadet) di cui non sono sicuro della soluzione)
1) Quanti numeri interi positivi N soddisfano la seguente condizione: tra tutti i divisori di N, diversi da N e da 1, il maggiore è 45 volte il minore
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) più di 3
(io ho messo a)
2) In un quadrilatero non intrecciato PQRS il lato PQ misura 2006, il lato QR misura 2008, il lato RS misura 2007 e il lato SP misura 2009. Quali angoli interni del quadrilatero sono necessariamente mminori di 180°?
a) P,Q,R,S
b) P,Q,R
c) Q,R,S
d) P,Q,S
e) P,R,S
(io ho messo c)
3) In un triangolo ABC l'angolo in B misura 20° e l'angolo in C misura 40°. La lunghezza della bisettrice dell'angolo in A è 2. Quanto vale la differenza fra la lunghezza di BC e la lunghezza di AB?
a) 4
b) 2
c) 1,5
d) 1
e) un valore diverso
(io ho messo B)
4) Un quadrato è stato diviso esattamente (cioè senza avanzi e senza sovrappposizioni) in 2009 quadrati. Se la lunghezza del lato di ciascuno dei quadrati di cui si parla è un numero intero, qual è la minima lunghezza del quadrato originario che rende possibile questa scomposizione?
a) 46
b) 47
c) 503
d) un numero diverso dai precedenti
e) tale scomposizione non è realizzabile
(io ho messo d intendendo 41)
GRAZIE 1.000 a chiunque risolva questi problemi!
1) Quanti numeri interi positivi N soddisfano la seguente condizione: tra tutti i divisori di N, diversi da N e da 1, il maggiore è 45 volte il minore
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) più di 3
(io ho messo a)
2) In un quadrilatero non intrecciato PQRS il lato PQ misura 2006, il lato QR misura 2008, il lato RS misura 2007 e il lato SP misura 2009. Quali angoli interni del quadrilatero sono necessariamente mminori di 180°?
a) P,Q,R,S
b) P,Q,R
c) Q,R,S
d) P,Q,S
e) P,R,S
(io ho messo c)
3) In un triangolo ABC l'angolo in B misura 20° e l'angolo in C misura 40°. La lunghezza della bisettrice dell'angolo in A è 2. Quanto vale la differenza fra la lunghezza di BC e la lunghezza di AB?
a) 4
b) 2
c) 1,5
d) 1
e) un valore diverso
(io ho messo B)
4) Un quadrato è stato diviso esattamente (cioè senza avanzi e senza sovrappposizioni) in 2009 quadrati. Se la lunghezza del lato di ciascuno dei quadrati di cui si parla è un numero intero, qual è la minima lunghezza del quadrato originario che rende possibile questa scomposizione?
a) 46
b) 47
c) 503
d) un numero diverso dai precedenti
e) tale scomposizione non è realizzabile
(io ho messo d intendendo 41)
GRAZIE 1.000 a chiunque risolva questi problemi!
Risposte
"giuspeppe94":
Vorrei proporre dei problemi del kangourou della matematica 2009 (cadet) di cui non sono sicuro della soluzione)
1) Quanti numeri interi positivi N soddisfano la seguente condizione: tra tutti i divisori di N, diversi da N e da 1, il maggiore è 45 volte il minore
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) più di 3
(io ho messo a)
Pensa a 180.
E' divisibile per 2 ed anche per 90.
Nei puoi trovare cosi', tanti altri.
1) $p_1^{a_1} \cdot ... \cdot p_n^{a_n-1}=3^2 \cdot 5 \cdot p_1$. ma $p_1 \in \{2,3\}$ per cui ne esistono solo due.
2) se P o R >= 180 allora dato che la somma coi lati opposti è costante deve essere degenere.
Q si, esiste. S>= 180 allora sarà per forza intrecciato.
Per cui è la e
Q si, esiste. S>= 180 allora sarà per forza intrecciato.
Per cui è la e
3)Sia H il piede della bisettrice da A. Traccia AT, con T su BC tale che HAT=20. Adesso BAT, AHT, ATC sono tutti isosceli per cui BC-AB=BC-BT=TC=AT=AH=2.
4) L e l sono i lati dei due quadrati.Allora $L^2=41(7l)^2$, impossibile.
E penso che il buon righello abbia fatto la sua parte al 3 
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