Irrazionalità
Ciao a tutti, mi serve un'informazione di tipo qualitativo.
Quando mi trovo a dover dimostrare l'irrazionalità di un valore, ho visto su wikipedia che in genere procede per assurdo.
Come esempi portava $sqrt2$ e $log_2 3$, poi si afferma che allora il valore (supposto razionale) potrebbe essere espresso come una frazione irriducibile.... ecc ecc fino all'assurdo.
Ora vi chiedo: l'assurdo è l'unico modo, o comunque il più usato, per dimostrare una presunta irrazionalità?
E ci sono modi per dimostrare l'irrazionalità di una funzione goniometrica di un angolo, che so, $sin4°$?
Grazie in anticipo a tutti, ciao.
Quando mi trovo a dover dimostrare l'irrazionalità di un valore, ho visto su wikipedia che in genere procede per assurdo.
Come esempi portava $sqrt2$ e $log_2 3$, poi si afferma che allora il valore (supposto razionale) potrebbe essere espresso come una frazione irriducibile.... ecc ecc fino all'assurdo.
Ora vi chiedo: l'assurdo è l'unico modo, o comunque il più usato, per dimostrare una presunta irrazionalità?
E ci sono modi per dimostrare l'irrazionalità di una funzione goniometrica di un angolo, che so, $sin4°$?
Grazie in anticipo a tutti, ciao.
Risposte
L'assurdo è il metodo più utilizzato. In generale si può dimostrare per assurdo ad esempio che $rootna$ o $log_(b)a$ sono o interi o irrazionali. Mi hanno detto però che esistono risultati di teoria algebrica dei numeri in base ai quali si può dedurre la irrazionalità e/o la trascendenza di certi numeri reali.
Non basta la sezione di Dedekind vero? Ti serve, in pratica, di dimostrare che $sqrt2$ ha un numero infinito di cifre dopo la virgola?
Dimostri, per assurdo che $sqrt(2)$ non può essere espresso come numero razionale , cioè del tipo $m/n$ con $m,n AA NN $.
"Aethelmyth":
Non basta la sezione di Dedekind vero? Ti serve, in pratica, di dimostrare che $sqrt2$ ha un numero infinito di cifre dopo la virgola?
Non conosco la sezione di Dedekind... comunque adesso mi ponevo il problema di stabilire se un numero è irrazionale o meno, non se ha infinite cifre dopo la virgola.
Per valori del tipo $sin7°$ sapete dirmi qualcosa?
Grazie, buona serata
Supponiamo $sqrt2=p/q$ con $p/q$ ridotta ai minimi termini. Allora $p$ e $q$ dovranno essere necessariamente entrambi dispari o uno pari e uno dispari. Se quadriamo otteniamo $p^2=2q^2$ quindi $p^2$ è pari, ma se $p^2$ è pari allora lo è anche $p$. Scriviamo quindi $p=2n$. Sostituendo alla precedente equazione avremo $(2n)^2=2q^2$ => $q^2=2n^2$ quindi anche $q^2$ è pari e di conseguenza lo è anche $q$. Assurdo 
. In questo modo xo ho solo dimostrato che $sqrt2$ non è razionale. Per le funzioni goniometriche mi sembra di ricordare qlkosa, ma ci devo pensare.
. In questo modo xo ho solo dimostrato che $sqrt2$ non è razionale. Per le funzioni goniometriche mi sembra di ricordare qlkosa, ma ci devo pensare.
Per la trascendenza si usa il teorema di Liouville.
prima o poi me la rileggerò... ricordo che una volta me la ricordavo... l'avevo anche "raccontata" in treno... ora però chi se la ricorda più? 
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=11979
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=11979
Tanto per variare:
Consideriamo il polinomio $x^2-2$. Per il criterio di irriducibilita' di Eisenstein esso e' irriducibile in $QQ[x]$, e dunque non puo' aver una radice in $QQ$: conseguentemente $sqrt2\notin QQ$.
Consideriamo il polinomio $x^2-2$. Per il criterio di irriducibilita' di Eisenstein esso e' irriducibile in $QQ[x]$, e dunque non puo' aver una radice in $QQ$: conseguentemente $sqrt2\notin QQ$.
"+Steven+":
Come esempi portava $sqrt2$ e $log_2 3$
O ancora: Se $\sqrt2=a/b$, con $\gcd(a,b)=1$, allora $a^2=2b^2$, cioe' $p|a$, per ogni fattore primo $p$ di $b$, assurdo; quindi $b=1$, ma chiaramente anche questo e' assurdo.
Questo approccio puo' essere usato per dimostrare che $root(m)N$ e' irrazionale, a meno che $N$ non sia l'$m$-esima potenza di un intero $n$.
Per $log_2 3$, basta osservare che se $\log_2 3=a/b$, si avrebbe $3^b=2^a$. Piu' generalmente, $log_m n$ e' irrazionale, se $m$ e $n$ sono interi, ed uno dei due ha un fattore primo che l'altro non ha.
Esistono anche delle belle prove geometriche per dimostrare che $\sqrt5$, per esempio, e' irrazionale.
Il libro "L'Ultimo Teorema di Fermat", autore Simon Singh, contiene alcune appendici interessanti dopo l'epilogo. Una di queste, la numero due, concerne la dimostrazione completa di Euclide che $sqrt(2)$ è irrazionale: la riporto qui, nel caso interessasse a qualcuno che non la conosce ancora.
"$sqrt(2)=p/q$
$2=p^2/q^2$
$2(q^2)=p^2$
poiche $p^2$ è pari e $p$ idem:
$2(q^2)=(2m)^2=4m^2$
$q^2=2m^2$
$q$ dev'essere pari, poiché lo è anche $q^2$, e quindi $q$ può essere diviso per due, ottenendo $n$: ora quindi abbiamo $q=2n$.
$sqrt(2)=p/q=(2m)/(2n)$
$sqrt(2)=m/n$
Se esiste $sqrt(2)=p/q$ esisterà anche la semplificazione $m/n$, e così via la frazione si semplificherà all'infinito, con $g/h$, $e/f$, $c/d$, $a/b$...
Ma noi sappiamo che nessuna frazione è semplificabile all'infinito, perché ovviamente arriveremo ad una frazione $a/b$, prima o poi, dove $a$ non avrà nessun fattore in comune con $b$.
Quindi la frazione $p/q=sqrt(2)$ non può esistere, e quindi $sqrt(2)$ non è rappresentabile con una frazione.
Quindi $sqrt(2)$ è irrazionale."
Con questa dimostrazione per assurdo ("Reductio ad absurdum") Euclide dimostrò l'irrazionalità di $sqrt(2)$.
"$sqrt(2)=p/q$
$2=p^2/q^2$
$2(q^2)=p^2$
poiche $p^2$ è pari e $p$ idem:
$2(q^2)=(2m)^2=4m^2$
$q^2=2m^2$
$q$ dev'essere pari, poiché lo è anche $q^2$, e quindi $q$ può essere diviso per due, ottenendo $n$: ora quindi abbiamo $q=2n$.
$sqrt(2)=p/q=(2m)/(2n)$
$sqrt(2)=m/n$
Se esiste $sqrt(2)=p/q$ esisterà anche la semplificazione $m/n$, e così via la frazione si semplificherà all'infinito, con $g/h$, $e/f$, $c/d$, $a/b$...
Ma noi sappiamo che nessuna frazione è semplificabile all'infinito, perché ovviamente arriveremo ad una frazione $a/b$, prima o poi, dove $a$ non avrà nessun fattore in comune con $b$.
Quindi la frazione $p/q=sqrt(2)$ non può esistere, e quindi $sqrt(2)$ non è rappresentabile con una frazione.
Quindi $sqrt(2)$ è irrazionale."
Con questa dimostrazione per assurdo ("Reductio ad absurdum") Euclide dimostrò l'irrazionalità di $sqrt(2)$.
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