Integrale simpatico

[Piera4]

Calcolare
$int_0^1x^n/(sum_(i=0)^(n-1)(-1)^i*((n),(i))*x^i)dx$
per $n$ naturale dispari.

[Sk_Anonymous]

L'integrale L richiesto e' in realta' dato da :
$L=int_o^1(x^(2p+1))/((1-x)^(2p+1)+x^(2p+1))$
Effettuando la divisione si trova che:
$((2p+1)x^(2p+1))/((1-x)^(2p+1)+x^(2p+1))=(x+p)+(ax+b)/((1-x)^(2p+1)+x^(2p+1))$
Per la determinazione di a e b si puo' fare come segue:
per x=0 si ha 0=p+b da cui b=-p
per x=1 si ha 2p+1=p+1+a-p da cui a=2p
Ne viene che :
$(x^(2p+1))/((1-x)^(2p+1)+x^(2p+1))=(x+p)/(2p+1)+p/(2p+1)*(2x-1)/((1-x)^(2p+1)+x^(2p+1))$
Osserviamo ora che la terza frazione a secondo membro e' una funzione
il cui diagramma cartesiano e' simmetrico rispetto al punto $(1/2,0)$
[infatti essa si muta nel suo opposto quando ad x si sostituisce 1-x]
Pertanto nsi ha:
$L=1/(2p+1)int_o^1(x+p)dx+p/(2p+1)int_o^1(2x-1)/((1-x)^(2p+1)+x^(2p+1))dx=1/2+0=1/2$
[size=150]L=1/2[/size]
karl

[Piera4]

Ottimo karl!
Visto che me lo sono inventato, riporto anche la mia soluzione:
mediante il cambiamento di variabile $1-x=t$ si ha
$L=int_0^1(x^(2p+1))/((1-x)^(2p+1)+x^(2p+1))dx=-int_1^0((1-t)^(2p+1))/(t^(2p+1)+(1-t)^(2p+1))dt=int_0^1((1-x)^(2p+1))/((1-x)^(2p+1)+x^(2p+1))dx$.
$2L=int_0^1(x^(2p+1))/((1-x)^(2p+1)+x^(2p+1))dx+int_0^1((1-x)^(2p+1))/((1-x)^(2p+1)+x^(2p+1))dx=int_0^1 1dx=1=>L=1/2$.