Integrale
Lo posto anche qui, dove magari può avere più visibilità.
Calcolare il seguente integrale con la tecnica dei residui
$int_(-oo)^(+oo) (sint/t)^3 dt$
Calcolare il seguente integrale con la tecnica dei residui
$int_(-oo)^(+oo) (sint/t)^3 dt$
Risposte
$sen^3x=3/4senx-1/4sen3x$.
Consideriamo la funzione $f(z)=(3/4e^(iz)-1/4e^(i3z))/z^3$, e il circuito $gamma$ composto da due semicirconferenze con centro l'origine e da due segmenti.
$int_gammaf(z)dz=0$ per il teorema di Cauchy-Goursat.
Per $R->+infty$, l'integrale sulla semicirconferenza maggiore tende a zero, per il lemma di Jordan.
Per $epsilon->0$, l'integrale sulla semicirconferenza minore tende a $-pi3/4i$, per il lemma del piccolo cerchio.
In definitiva, si ha
$pv int_(-infty)^(+infty)(3/4e^(x i)-1/4e^(3x i))/x^3=3/4pii$.
Eguagliando le parti immaginarie si ottiene
$int_(-infty)^(+infty)(sen^3x)/x^3dx=3/4pi$.
Consideriamo la funzione $f(z)=(3/4e^(iz)-1/4e^(i3z))/z^3$, e il circuito $gamma$ composto da due semicirconferenze con centro l'origine e da due segmenti.
$int_gammaf(z)dz=0$ per il teorema di Cauchy-Goursat.
Per $R->+infty$, l'integrale sulla semicirconferenza maggiore tende a zero, per il lemma di Jordan.
Per $epsilon->0$, l'integrale sulla semicirconferenza minore tende a $-pi3/4i$, per il lemma del piccolo cerchio.
In definitiva, si ha
$pv int_(-infty)^(+infty)(3/4e^(x i)-1/4e^(3x i))/x^3=3/4pii$.
Eguagliando le parti immaginarie si ottiene
$int_(-infty)^(+infty)(sen^3x)/x^3dx=3/4pi$.
"Piera":
Per $epsilon->0$, l'integrale sulla semicirconferenza minore tende a $-pi3/4i$, per il lemma del piccolo cerchio.
La funzione ausiliaria $f(z)$ che hai considerato ha in $0$ un polo triplo e dunque il lemma del piccolo cerchio non si può applicare.
Vero...
Consideriamo la funzione $f(z)=(3/4e^(iz)-1/4e^(i3z)-1/2)/z^3$.
Adesso il polo in $z=0$ è di ordine 1.
Sulla semicirconferenza maggiore l'integrale di $(3/4e^(iz)-1/4e^(i3z))/z^3$ tende a zero per il lemma di Jordan.
Anche l'altro pezzo tende a zero:
infatti sulla semicirconferenza $z=Re^(itheta),0<=theta<=pi,dz=iRe^(itheta)d theta
$|-1/2int_(C_R)(dz)/z^3|=|-1/2int_0^pi i(Re^(itheta))/(R^3e^(3thetai))d theta|<=1/2int_0^pi |i(Re^(itheta))/(R^3e^(3thetai))|d theta=1/2int_0^pi 1/R^2d theta=1/2pi/R^2->0$ per $R->+infty$.
L'integrale sulla semicirconferenza minore tende a $-3/4pii$ per il lemma del piccolo cerchio.
Dunque si ha
$pv int_(-infty)^(+infty)(3/4e^(ix)-1/4e^(i3x)-1/2)/x^3dx=3/4pii$.
Eguagliando le parti immaginarie si ottiene
$pvint_(-infty)^(+infty)(sen^3x)/x^3dx=int_(-infty)^(+infty)(sen^3x)/x^3dx=3/4pi$.
Consideriamo la funzione $f(z)=(3/4e^(iz)-1/4e^(i3z)-1/2)/z^3$.
Adesso il polo in $z=0$ è di ordine 1.
Sulla semicirconferenza maggiore l'integrale di $(3/4e^(iz)-1/4e^(i3z))/z^3$ tende a zero per il lemma di Jordan.
Anche l'altro pezzo tende a zero:
infatti sulla semicirconferenza $z=Re^(itheta),0<=theta<=pi,dz=iRe^(itheta)d theta
$|-1/2int_(C_R)(dz)/z^3|=|-1/2int_0^pi i(Re^(itheta))/(R^3e^(3thetai))d theta|<=1/2int_0^pi |i(Re^(itheta))/(R^3e^(3thetai))|d theta=1/2int_0^pi 1/R^2d theta=1/2pi/R^2->0$ per $R->+infty$.
L'integrale sulla semicirconferenza minore tende a $-3/4pii$ per il lemma del piccolo cerchio.
Dunque si ha
$pv int_(-infty)^(+infty)(3/4e^(ix)-1/4e^(i3x)-1/2)/x^3dx=3/4pii$.
Eguagliando le parti immaginarie si ottiene
$pvint_(-infty)^(+infty)(sen^3x)/x^3dx=int_(-infty)^(+infty)(sen^3x)/x^3dx=3/4pi$.
Bravo! 
ciao! potete per favore dirmi lenunciato del lemma del piccolo cerchio che non trovo riesco a trovare?... 
Mi è toccato riprendere il libro di Metodi Matematici, perché il simbolismo non è semplice da ricordare.
Fissato $z_0 in CC$, consideriamo l'angolo $A$ di vertice $z_0$ e delimitato dalle semirette uscenti da $z_0$ di anomalie $theta_0$ e $theta_1$, dove $0
LEMMA (del piccolo cerchio)
Sia $f$ definita e continua nei punti di $A$ con $0<|z-z_0|<=epsilon_0$, per un $epsilon_0>0$. Se $(z-z_0)f(z)$ converge per $z to z_0$, detto
$l = lim_(z to z_0) (z-z_0)f(z)$
ed indicato con $gamma_epsilon$ l'arco di circonferenza di centro $z_0$ e raggio $epsilon
Fissato $z_0 in CC$, consideriamo l'angolo $A$ di vertice $z_0$ e delimitato dalle semirette uscenti da $z_0$ di anomalie $theta_0$ e $theta_1$, dove $0
LEMMA (del piccolo cerchio)
Sia $f$ definita e continua nei punti di $A$ con $0<|z-z_0|<=epsilon_0$, per un $epsilon_0>0$. Se $(z-z_0)f(z)$ converge per $z to z_0$, detto
$l = lim_(z to z_0) (z-z_0)f(z)$
ed indicato con $gamma_epsilon$ l'arco di circonferenza di centro $z_0$ e raggio $epsilon
mmm... per f analitica ovunque tranne in $z_0$ dove supponiamo ci sia un polo del primo ordine la cosa dovrebbe essere abbastanza evidente 
(che poi è ciò che usa Piera)... la difficoltà della dimostrazione stà nello scambiare l'ipotesi di analiticità con quella di continuità, giusto?
ps: chissà poi perchè questo lemma non lo trovo da nessuna parte sulla rete...
(che poi è ciò che usa Piera)... la difficoltà della dimostrazione stà nello scambiare l'ipotesi di analiticità con quella di continuità, giusto?ps: chissà poi perchè questo lemma non lo trovo da nessuna parte sulla rete...
Scrivo le ipotesi del lemma in modo tale che sia più facile da ricordare.
Sia $z_0$ un polo semplice di una funzione $f$ e sia $C_(epsilon)$ il cammino $z=z_0+epsilone^(it)$,$a<=t<=b$. Allora $lim_(epsilon->0)int_(C_(epsilon))f(z)dz=(b-a)*i*res(f,z_0)$ ($res$ sta per residuo).
Dimostrazione
Detta $rho(z)$ la parte regolare dello sviluppo di Laurent, si ha
$int_(C_(epsilon))f(z)dz=res(f,z_0)int_(C_(epsilon))(dz)/(z-z_0)+int_(C_(epsilon))rho(z)dz$
e l'ultimo integrale è infinitesimo in quanto $rho$ è limitata in un intorno di $z_0$ e la lunghezza di $C_(epsilon)$ tende a zero. Quindi
$res(f,z_0)lim_(epsilon->0)int_a^b(iepsilone^(it))/(epsilone^(it))dt=(b-a)*i*res(f,z_0)$.
Qui ci sono alcune utili dispense:
http://www.dmi.units.it/~tironi/ (ci sono diversi esercizi svolti)
http://physics.units.it/didattica03/aa0 ... metodi.pdf
Sia $z_0$ un polo semplice di una funzione $f$ e sia $C_(epsilon)$ il cammino $z=z_0+epsilone^(it)$,$a<=t<=b$. Allora $lim_(epsilon->0)int_(C_(epsilon))f(z)dz=(b-a)*i*res(f,z_0)$ ($res$ sta per residuo).
Dimostrazione
Detta $rho(z)$ la parte regolare dello sviluppo di Laurent, si ha
$int_(C_(epsilon))f(z)dz=res(f,z_0)int_(C_(epsilon))(dz)/(z-z_0)+int_(C_(epsilon))rho(z)dz$
e l'ultimo integrale è infinitesimo in quanto $rho$ è limitata in un intorno di $z_0$ e la lunghezza di $C_(epsilon)$ tende a zero. Quindi
$res(f,z_0)lim_(epsilon->0)int_a^b(iepsilone^(it))/(epsilone^(it))dt=(b-a)*i*res(f,z_0)$.
Qui ci sono alcune utili dispense:
http://www.dmi.units.it/~tironi/ (ci sono diversi esercizi svolti)
http://physics.units.it/didattica03/aa0 ... metodi.pdf
Il mio libro non riporta la dimostrazione, ma dice che è analoga a quella di un altro lemma.
Provo a ricostruirla.
Se non sbaglio, bisogna prima osservare che
$int_(gamma_epsilon) 1/(z-z_0) dz = (theta_1-theta_0)j$ (notare che non dipende da $epsilon$)
e a questo punto basta scrivere
$|int_(gamma_epsilon) f(z) dz - jl(theta_1-theta_0)| = |int_(gamma_epsilon) ((z-z_0)f(z))/(z-z_0) dz - lint_(gamma_epsilon) 1/(z-z_0) dz| = |int_(gamma_epsilon) ((z-z_0)f(z) - l)/(z-z_0) dz| <= (max_(z in gamma_epsilon) |(z-z_0)f(z) - l| (theta_1-theta_0) epsilon)/epsilon = 0$
dove l'ultima uguaglianza segue dalla continuità.
Provo a ricostruirla.
Se non sbaglio, bisogna prima osservare che
$int_(gamma_epsilon) 1/(z-z_0) dz = (theta_1-theta_0)j$ (notare che non dipende da $epsilon$)
e a questo punto basta scrivere
$|int_(gamma_epsilon) f(z) dz - jl(theta_1-theta_0)| = |int_(gamma_epsilon) ((z-z_0)f(z))/(z-z_0) dz - lint_(gamma_epsilon) 1/(z-z_0) dz| = |int_(gamma_epsilon) ((z-z_0)f(z) - l)/(z-z_0) dz| <= (max_(z in gamma_epsilon) |(z-z_0)f(z) - l| (theta_1-theta_0) epsilon)/epsilon = 0$
dove l'ultima uguaglianza segue dalla continuità.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo