Infiniti cerchi

[axpgn]

Quanto vale la somma delle lunghezze delle circonferenze della infinita pila di cerchi all'interno del triangolo in figura?
(Ogni cerchio è tangente ai lati del triangolo e ai cerchi sopra e sotto di esso, inoltre il triangolo è isoscele di lati $13-10-13$).

Cordialmente, Alex

[ghira1]

$12\pi$

[axpgn]

Perché?

[mgrau]

Perchè la somma dei diametri vale 12

[axpgn]

Certamente, volevo solo vedere una soluzione un po' più "articolata". Per i posteri

[mgrau]

Ecco una soluzione più articolata (o piuttosto più complicata, brute force)
trovo il raggio del cerchio più grande, $r = (2A)/P = 120/36 = 10/3$
L'altezza del triangolo la cui base sta fra i primi due cerchi è $12 - 20/3 = 16/3$
Il fattore di riduzione fra il triangolo grande e quest'altro è $(16/3)/12 = 4/9$
La somma delle circonferenze cercate è la somma della serie geometrica il cui primo termine è $10/3 pi$ e di ragione $4/9$, ossia $20/3pi * 1/(1-4/9) = 20/3pi*9/5 = 12pi$