Induzione...

[giuseppe87x]

Per ogni $ninNN$, $n>=2$, siano dati $2n$ numeri reali positivi $a_(1), a_(2),..., a_(n)$ e $b_(1), b_(2),..., b_(n)$. Provare, usando il principio di induzione che $(a_(1)+a_(2)+...+a_(n))/(b_(1)+b_(2)+...+b_(n))<=max{a_(i)/b_(i) i=1, 2,...,n}$

[Sk_Anonymous]

Sia $S_n$ il gruppo simmetrico fondamentale di ordine $n$. Poiché una qualunque permutazione $\sigma \in S_n$ lascia invariato il membro di sinistra della disuguaglianza proposta, si può assumere wlog $\max_{1 \le i \le n} \{\frac{a_i}{b_i}\} = \frac{a_1}{b_1}$, per ogni $n \in \mathbb{N}^+$. Pertanto, se $n = 2$: $a_1 b_2 \ge a_2 b_1$, i.e. $a_1(b_2 + b_1) \ge (a_1 + a_2)b_1$, e ancora $\frac{a_1}{b_1} \ge \frac{a_1 + a_2}{b_1 + b_2}$. Assumendo quindi la consistenza dell'asserto per un generico $n \ge 2$, vale $\frac{a_1 + ... + a_{n+1}}{b_1 + ... + b_{n+1}} $ $= \frac{A_n + a_{n+1}}{B_n + b_{n+1}} \le \max\{\frac{A_n}{B_n}, \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}\} $ $\le \max\{\max_{1 \le i \le n} \{\frac{a_i}{b_i}\}, \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}\} = \max_{1 \le i \le n+1} \{\frac{a_i}{b_i}\}$, essendo $A_n := a_1 + ... + a_n$ e $B_n := b_1 + ... + b_n$. Da qui la tesi per induzione.

[giuseppe87x]

Ok. Magari potevi oscurare per permettere a qualcun altro di cimentarsi.