INDAM 2007/2008
Come vi è andato il test? Pensate sia più difficile o più facile degli scorsi anni?
Postate considerazioni aiosa...
Nel frattempo vi propino il problema 10, se non ricordo male:
In un triangolo due mediane sono lunghe rispettivamente 10 e 12. Quanto può essere, al massimo, l'area del triangolo?
(Senza risposte multiple così è più interessante... e perchè non le ricordo
)
Postate considerazioni aiosa...
Nel frattempo vi propino il problema 10, se non ricordo male:
In un triangolo due mediane sono lunghe rispettivamente 10 e 12. Quanto può essere, al massimo, l'area del triangolo?
(Senza risposte multiple così è più interessante... e perchè non le ricordo
)
Risposte
a te com'è andata? a me malissimo, e secondo me era molto più difficile rispetto agli anni passati...quel quesito l'ho sbagliato...
Se a qualcuno interessa posto la soluzione del quesito sulle mediane.
Guardando la figura e ricordando una nota formula dell'area di un quadrilatero si ha:
$S(BCNM)=1/2*CM*BN*sinalpha=1/2*12*10*sinalpha=60sinalpha$
Lascio a voi il...piacere di dimostrare che $S(AMN)=1/3S(BCNM)=20sinalpha$
Pertanto risulta:
$S(ABC)=S(BCNM)+S(AMN)=80sinalpha$
e quindi max[S(ABC)]=80 ,ottenuto per $alpha=(pi)/2 $ ovvero quando le due
mediane CM e BN sono reciprocamente perpendicolari.
E' probabile che si possa giungere a tale conclusione anche senza far calcoli.
karl
io gho trovato i problemi fattibili, le crocette alcune toste altre no...
La vera rogna è stata il tempo!!!!
il terzo problema son riuscito a fare solo un punto lasciandolo in brutta... cavolo...
Il secondo problema è quello che ho trovato più divertente...
il primo non mi quadra un punto che non ho fatt.. però amen.. era comunque abbastanza tosto direi, voi non trovate?
un quesito dove mi sono impastato sul numeratore è quello di combinatoria che recitava tipo così
"trovare la probabilità che lanciando tre dadi, il prodotto dei tre numeri usciti sia multiplo di tre"
La vera rogna è stata il tempo!!!!
il terzo problema son riuscito a fare solo un punto lasciandolo in brutta... cavolo...
Il secondo problema è quello che ho trovato più divertente...
il primo non mi quadra un punto che non ho fatt.. però amen.. era comunque abbastanza tosto direi, voi non trovate?
un quesito dove mi sono impastato sul numeratore è quello di combinatoria che recitava tipo così
"trovare la probabilità che lanciando tre dadi, il prodotto dei tre numeri usciti sia multiplo di tre"
$1/27$?
che ragionamento ahi fatto?
di sicuro il numero di casi totali è 216, però mi impasto col numeratore cioè col numero di casi favorevoli..
avete idee?
di sicuro il numero di casi totali è 216, però mi impasto col numeratore cioè col numero di casi favorevoli..
avete idee?
Perchè il prodotto dei tre numeri usciti sia un multiplo di $3$ è necessario e sufficiente che uno di essi lo sia.
Ogni dado ha due multipli di $3$: il $3$ stesso e il $6$.
Lanciare tre dadi assieme è come lanciare lo stesso dado tre volte: con un solo lancio la probabiltà è $1/3$, con tre è $1/3^3=1/27$
P.S.: ovviamente data la mia poca affidabiltà, mi rimetto alla sentenza del forum.
EDIT: ovviamente $3^3=27$ ma data l'ora avevo reinventato le potenze $3^3=3+3+3=9$
chiedo scusa.
Ogni dado ha due multipli di $3$: il $3$ stesso e il $6$.
Lanciare tre dadi assieme è come lanciare lo stesso dado tre volte: con un solo lancio la probabiltà è $1/3$, con tre è $1/3^3=1/27$
P.S.: ovviamente data la mia poca affidabiltà, mi rimetto alla sentenza del forum.
EDIT: ovviamente $3^3=27$ ma data l'ora avevo reinventato le potenze $3^3=3+3+3=9$
chiedo scusa.
"WiZaRd":
Perchè il prodotto dei tre numeri usciti sia un multiplo di $3$ è necessario e sufficiente che uno di essi lo sia.
Ogni dado ha due multipli di $3$: il $3$ stesso e il $6$.
Lanciare tre dadi assieme è come lanciare lo stesso dado tre volte: con un solo lancio la probabiltà è $1/3$, con tre è $1/3^3=1/27$
P.S.: ovviamente data la mia poca affidabiltà, mi rimetto alla senteza del forum.
EDIT: ovviamente $3^3=27$ ma data l'ora avevo reinventato le potenze $3^3=3+3+3=9$
avevo notato l'errore
comuqnue come probabilità è troppo bassa, infatti hai si 1/3 che possa uscire in un dado un multiplo di tre, ma basta che esca in un dado e il multiplo esce...
quindi oltre alle singole probabilità che escano nei singoli dati, devi vedere le combinazioni che hanno tra loro... non so se mi spiego...
intuitivamente la probabilità dovrebbe essere tra il 30 e il 40%
non trovi?
Perchè scusa: se lancio tre dadi e su uno esce il $6$ e sugli altri due dadi due qualunque nuemeri $a$ e $b$; il prodotto è $6ab$ che è multiplo di $3$ e questo è vero indipendetemente dall'ordine d usctita e dagli altri due numeri.
Cos'è che non capisco?
Cos'è che non capisco?
La probabilità che in un lancio non esca un multiplo di 3 è 2/3. La probabilità che non esca un multiplo di 3 in tre lanci successivi è perciò (2/3)^3. La probabilità che esca almeno un multiplo di 3 è l'evento complementare per cui $p=1- (2/3)^3=19/27$.
Si anche a me viene come mamo. Il 10° quesito è l'unico che ho lasciato in bianco, anche se pensavo di tirare a caso 80. Infatti ho pensato alle mediane in un traingolo equilatero e ho visto che l'area veniva maggiore di 60... comunque ho deciso di non rispondere (lo so che lo rimpiangerò a vita..)
Poi un quesito su cui ho dubbi è stato quello della successione degli inversi di naturali... come avete fatto voi?
Nel complesso anch'io mi sono dovuto sbrigare.. probabilmente se avessi avuto più tempo avrei finito anche gli altri due punti del 3° problema. Del primo, l'ultimo punto non credo di averlo dimostrato come si deve, e nel secondo non sapevo dove mettere le mani, a parte l'ultimo punto
Poi un quesito su cui ho dubbi è stato quello della successione degli inversi di naturali... come avete fatto voi?
Nel complesso anch'io mi sono dovuto sbrigare.. probabilmente se avessi avuto più tempo avrei finito anche gli altri due punti del 3° problema. Del primo, l'ultimo punto non credo di averlo dimostrato come si deve, e nel secondo non sapevo dove mettere le mani, a parte l'ultimo punto
"MaMo":
La probabilità che in un lancio non esca un multiplo di 3 è 2/3. La probabilità che non esca un multiplo di 3 in tre lanci successivi è perciò (2/3)^3. La probabilità che esca almeno un multiplo di 3 è l'evento complementare per cui $p=1- (2/3)^3=19/27$.
Sta bene!!!
e per il secondo problema come ve la siete giocata?
Io da queste basi
1/2 = 0.5
1 = 0.9 periodico
$\pi$ = irrazionale
Ho costruito un ragionamento e ho fatto le mie considerazioni..
P.S: cmq nn era facilissima come prova....
Io da queste basi
1/2 = 0.5
1 = 0.9 periodico
$\pi$ = irrazionale
Ho costruito un ragionamento e ho fatto le mie considerazioni..
P.S: cmq nn era facilissima come prova....
"Aethelmyth":
Si anche a me viene come mamo. Il 10° quesito è l'unico che ho lasciato in bianco, anche se pensavo di tirare a caso 80. Infatti ho pensato alle mediane in un traingolo equilatero e ho visto che l'area veniva maggiore di 60... comunque ho deciso di non rispondere (lo so che lo rimpiangerò a vita..)
Poi un quesito su cui ho dubbi è stato quello della successione degli inversi di naturali... come avete fatto voi?
Nel complesso anch'io mi sono dovuto sbrigare.. probabilmente se avessi avuto più tempo avrei finito anche gli altri due punti del 3° problema. Del primo, l'ultimo punto non credo di averlo dimostrato come si deve, e nel secondo non sapevo dove mettere le mani, a parte l'ultimo punto
i naturali ho messo al massimo 2
infatti se la differenza tra il il termine $x_n-x_(n-1)="costante"$ allora vuol dire che sono in progressione aritmetica.
ma gli inversi dei naturali non possono essere in progressione aritmetica! cipè $1/4-1/3!=1/2-1$ sempre... quindi il massimo che bisogna prendere è 2, in quanto una successione formata da due termini (1 e 1/2) è sicuramente l'unica di questo tipo che ha una differenza costante.
Vi ritrovate?
Si!!! penso che se ti incontro ti bacio... (ma anche no )
Per il problema delle mattonelle invece?
)Per il problema delle mattonelle invece?
"Aethelmyth":
Nel complesso anch'io mi sono dovuto sbrigare.. probabilmente se avessi avuto più tempo avrei finito anche gli altri due punti del 3° problema. Del primo, l'ultimo punto non credo di averlo dimostrato come si deve, e nel secondo non sapevo dove mettere le mani, a parte l'ultimo punto
del secondo vado fiero di aver trovato un algoritmo per dire se $m/n$ da un decimale finito o illimitato periodico!
Però la dimostrazione è troncata a metà oer il tempo, ora la posto
TEOREMA (ahahah che coraggio a chiamarlo così, l'ho inventato in 10 minuti!)
se n è pari il numero è limitato se n è dispari il numero è illimitato periodico
dimostrazione:
prendiamo il caso che m>n e che n sia pari ed m sia dispari (se m fosse pari il caso è banale).
questo vuol dire che $m=2k+1$ ed $n=2j$
la frazione $m/n=(2j+2k+1-2j)/(2j)=1+(2k+2j)/(2j)+1/(2j)$
analizziamo il risultato trovato: $(2k+2j)/(2j)$ essendo due numeri pari che si dividono tra loro daranno luogo a un decimale limitato sicuramente in quanto un intero pari è sempre divisibile in n parti pari.
La cosa interessente è $1/(2j)$ che essendoci un'unità al numeratore, essa è scomponibile solo in parti pari per dar luogo ad un decimale limitato, cvd.
(ora era finito quasi il tesmpo e per accorciare ho scritto questa grande frase
) allo stesso modo si dimostra per n dispari.cosa vi sembra? non è prorpio il massimo per una bella dimostrazione, però...
"Aethelmyth":
Si!!! penso che se ti incontro ti bacio... (ma anche no
Per il problema delle mattonelle invece?
il problema delle ,mattonelle solo il primo punto ho fatto, la soluzione è
$C_(1,8)+C_(3,8)+C_(5,8)+C_(7,8)=128$
"Luc@s":
e per il secondo problema come ve la siete giocata?
Io da queste basi
1/2 = 0.5
1 = 0.9 periodico
$\pi$ = irrazionale
Ho costruito un ragionamento e ho fatto le mie considerazioni..
P.S: cmq nn era facilissima come prova....
il punto i)
hp per assurdo che $a/b$ non possa essere scritto nella forma di un decimale limitato o illimitato periodico, questo vuol dire che $a/b$ darà un illimitato non periodico...
Se così fosse allora il numero con cui potrebbe essere scritta la frazione sarebbe un irrazionale, il che è assurdo!
(è brutta come dimostrazione, lo so.. però non sapevo cosa fare!)
per il secondo punto ho ripreso dal primo e ho scritto le considerazioni basandomi sul punto i)
"fu^2":
se n è pari il numero è limitato se n è dispari il numero è illimitato periodico
Forse mi sbaglio ma non mi convince
. Per esempio $m=17$ $n=5$, $m/n=17/5=3.4$ che nonostante $n$ sia dispari il numero $3.4$ è limitato!
"gygabyte017":
[quote="fu^2"]
se n è pari il numero è limitato se n è dispari il numero è illimitato periodico
Forse mi sbaglio ma non mi convince
. Per esempio $m=17$ $n=5$, $m/n=17/5=3.4$ che nonostante $n$ sia disparo il numero $3.4$ è limitato![/quote]Argh! Si dice "Dispari" ...
Cmq è vero, le divisioni per 5 nn sono mai illimitate... Ma almeno tu hai scritto qualcosa, io no
"karl":
ricordando una nota formula dell'area di un quadrilatero si ha:
$S(BCNM)=1/2*CM*BN*sinalpha=1/2*12*10*sinalpha=60sinalpha$
Ciao karl.
Avevo già letto quella formula per calcolare l'area di un quadrilatero note le diagonali (se sono perpendicolari), ma non trovo una dimostrazione.
Disponi di un link che la contiene?
Ciao
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