INDAM 2007/2008
Come vi è andato il test? Pensate sia più difficile o più facile degli scorsi anni?
Postate considerazioni aiosa...
Nel frattempo vi propino il problema 10, se non ricordo male:
In un triangolo due mediane sono lunghe rispettivamente 10 e 12. Quanto può essere, al massimo, l'area del triangolo?
(Senza risposte multiple così è più interessante... e perchè non le ricordo
)
Postate considerazioni aiosa...
Nel frattempo vi propino il problema 10, se non ricordo male:
In un triangolo due mediane sono lunghe rispettivamente 10 e 12. Quanto può essere, al massimo, l'area del triangolo?
(Senza risposte multiple così è più interessante... e perchè non le ricordo
)
Risposte
Non è necessario che le diagonali siano perpendicolari.
Si potrebbe dimostrare così: prendi un quadrilatero convesso e traciane le diagonali; il quadrilatero è diviso in quattro triangoli; la diagonale $d_1$ si spezza in $d'_1$ e $d''_1; la diagonale $d_2$ si spezza in $d'_2$ e $d''_2; chiama $O$ l'intersezione delle diagonali: l'angolo $d'_1hat(O)d'_2$ e l'angolo $d'_1hat(O)d''_2$ sono supplemetari, quindi $sen(d'_1hat(O)d'_2)=sen(d'_1hat(O)d''_2)$; calola l'area dei singoli triangol trigonometricamente usando i segmenti di diagonale, metti in evidenza e ottieni la tesi.
P.S.: spero che karl non me ne voglia.
Si potrebbe dimostrare così: prendi un quadrilatero convesso e traciane le diagonali; il quadrilatero è diviso in quattro triangoli; la diagonale $d_1$ si spezza in $d'_1$ e $d''_1; la diagonale $d_2$ si spezza in $d'_2$ e $d''_2; chiama $O$ l'intersezione delle diagonali: l'angolo $d'_1hat(O)d'_2$ e l'angolo $d'_1hat(O)d''_2$ sono supplemetari, quindi $sen(d'_1hat(O)d'_2)=sen(d'_1hat(O)d''_2)$; calola l'area dei singoli triangol trigonometricamente usando i segmenti di diagonale, metti in evidenza e ottieni la tesi.
P.S.: spero che karl non me ne voglia.
"Aethelmyth":
Argh! Si dice "Dispari" ...
Cmq è vero, le divisioni per 5 nn sono mai illimitate... Ma almeno tu hai scritto qualcosa, io no
Ho corretto
m'è sfuggita la "o" ...Comunque l'unica cosa che ho scritto sul problema 2 è che un numero $m/n$ è periodico solo se $n$ è un numero che non divide l'unità in parti "finite", cioè se $n=3,7,9,11,...$
Ma non penso proprio che sia una risposta decente... Mi beccherò un bello $\emptyset$
"WiZaRd":
Non è necessario che le diagonali siano perpendicolari.
Si potrebbe dimostrare così: prendi un quadrilatero convesso e traciane le diagonali; il quadrilatero è diviso in quattro triangoli; la diagonale $d_1$ si spezza in $d'_1$ e $d''_1; la diagonale $d_2$ si spezza in $d'_2$ e $d''_2; chiama $O$ l'intersezione delle diagonali: l'angolo $d'_1hat(O)d'_2$ e l'angolo $d'_1hat(O)d''_2$ sono supplemetari, quindi $sen(d'_1hat(O)d'_2)=sen(d'_1hat(O)d''_2)$; calola l'area dei singoli triangol trigonometricamente usando i segmenti di diagonale, metti in evidenza e ottieni la tesi.
P.S.: spero che karl non me ne voglia.
Ti ringrazio
Si può anche tracciare il parallelogramma con lati passanti per i vertici del quadrilatero e paralleli alle diagonali, e notare che la sua area è equivalente al doppio del quadrilatero. Forse così è più facilmente applicabile ad un quadrilatero non convesso.
Il quesito sul dodecaedro? Come si ragionava?
beh quello è stato il primo che ho fatto, uno dei pochi che mi sono riusciti... 
avevamo il rapporto fra le aree, $8$, e dovevamo trovare quello fra i volumi, conoscendo uno dei due volumi, $sqrt10$. Sappiamo che il rapporto fra oggetti a due dimensioni (le aree) è il quadrato del rapporto fra quelli a una dimensione (i segmenti), che in questo caso è quindi $sqrt8$. Ugualmente sappiamo che il rapporto fra gli elementi a tre dimensioni (i volumi) è il cubo del rapporto fra i segmenti. Quindi: $(V1)/(V2)=(sqrt8)^3=sqrt((2^3)^3)=sqrt(2^9)=2^4*sqrt2$. Poichè $V2$ era $sqrt10$, abbiamo che $V1=16*sqrt2*sqrt10=16*sqrt20=16*sqrt(2^2*5)=32*sqrt5$.
comunque a me è sembrato decisamente più difficle rispetto algi altri anni..ha fatto anche a voi quest'impressione o sono io duro pinato?
avevamo il rapporto fra le aree, $8$, e dovevamo trovare quello fra i volumi, conoscendo uno dei due volumi, $sqrt10$. Sappiamo che il rapporto fra oggetti a due dimensioni (le aree) è il quadrato del rapporto fra quelli a una dimensione (i segmenti), che in questo caso è quindi $sqrt8$. Ugualmente sappiamo che il rapporto fra gli elementi a tre dimensioni (i volumi) è il cubo del rapporto fra i segmenti. Quindi: $(V1)/(V2)=(sqrt8)^3=sqrt((2^3)^3)=sqrt(2^9)=2^4*sqrt2$. Poichè $V2$ era $sqrt10$, abbiamo che $V1=16*sqrt2*sqrt10=16*sqrt20=16*sqrt(2^2*5)=32*sqrt5$.
comunque a me è sembrato decisamente più difficle rispetto algi altri anni..ha fatto anche a voi quest'impressione o sono io duro pinato?
"alvinlee88":
comunque a me è sembrato decisamente più difficle rispetto algi altri anni..ha fatto anche a voi quest'impressione o sono io duro pinato?
same here...
"gygabyte017":
[quote="Aethelmyth"]
Argh! Si dice "Dispari" ...
Cmq è vero, le divisioni per 5 nn sono mai illimitate... Ma almeno tu hai scritto qualcosa, io no
Ho corretto
m'è sfuggita la "o" ...Comunque l'unica cosa che ho scritto sul problema 2 è che un numero $m/n$ è periodico solo se $n$ è un numero che non divide l'unità in parti "finite", cioè se $n=3,7,9,11,...$
Ma non penso proprio che sia una risposta decente... Mi beccherò un bello $\emptyset$
[/quote]cavolo a quei casi non ci avevo pensato...
però in così poco tempo è anche dura...
spero che quello che ho scritto l'ho anche motivato però è incompleto va beh...
"alvinlee88":
beh quello è stato il primo che ho fatto, uno dei pochi che mi sono riusciti...
avevamo il rapporto fra le aree, $8$, e dovevamo trovare quello fra i volumi, conoscendo uno dei due volumi, $sqrt10$. Sappiamo che il rapporto fra oggetti a due dimensioni (le aree) è il quadrato del rapporto fra quelli a una dimensione (i segmenti), che in questo caso è quindi $sqrt8$. Ugualmente sappiamo che il rapporto fra gli elementi a tre dimensioni (i volumi) è il cubo del rapporto fra i segmenti. Quindi: $(V1)/(V2)=(sqrt8)^3=sqrt((2^3)^3)=sqrt(2^9)=2^4*sqrt2$. Poichè $V2$ era $sqrt10$, abbiamo che $V1=16*sqrt2*sqrt10=16*sqrt20=16*sqrt(2^2*5)=32*sqrt5$.
comunque a me è sembrato decisamente più difficle rispetto algi altri anni..ha fatto anche a voi quest'impressione o sono io duro pinato?
si uguale ragionamento! grandeee|
si almeno quello sono sicuro di averlo fatto bene..sai che soddosfazione... 
E quello della serie di numeri del tipo 1/n-1/n1= costante???
guada un pò di post indietro che ne abbiam già parlato della fantomatica progressione
guardando le soluzioni che ho trovato postate sull'oliforum,
http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=9185
la risposta al quesito sulla successione dei numeri, che abbiamo ampliamente parlato, l'indam mette come risposta "albitrariamente grande" ma perchè?
qui eravm arrivati che la risposta era al massimo 2...
come si traduce quindi la risoluzione per il nuovo risultato?...
http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=9185
la risposta al quesito sulla successione dei numeri, che abbiamo ampliamente parlato, l'indam mette come risposta "albitrariamente grande" ma perchè?
qui eravm arrivati che la risposta era al massimo 2...
come si traduce quindi la risoluzione per il nuovo risultato?...
"fu^2":
[quote="Aethelmyth"]Si anche a me viene come mamo. Il 10° quesito è l'unico che ho lasciato in bianco, anche se pensavo di tirare a caso 80. Infatti ho pensato alle mediane in un traingolo equilatero e ho visto che l'area veniva maggiore di 60... comunque ho deciso di non rispondere (lo so che lo rimpiangerò a vita..)
Poi un quesito su cui ho dubbi è stato quello della successione degli inversi di naturali... come avete fatto voi?
Nel complesso anch'io mi sono dovuto sbrigare.. probabilmente se avessi avuto più tempo avrei finito anche gli altri due punti del 3° problema. Del primo, l'ultimo punto non credo di averlo dimostrato come si deve, e nel secondo non sapevo dove mettere le mani, a parte l'ultimo punto
i naturali ho messo al massimo 2
infatti se la differenza tra il il termine $x_n-x_(n-1)="costante"$ allora vuol dire che sono in progressione aritmetica.
ma gli inversi dei naturali non possono essere in progressione aritmetica! cipè $1/4-1/3!=1/2-1$ sempre... quindi il massimo che bisogna prendere è 2, in quanto una successione formata da due termini (1 e 1/2) è sicuramente l'unica di questo tipo che ha una differenza costante.
Vi ritrovate?[/quote]
Il testo era:
I numeri $x_1$ , $x_2$ , ..., $x_k$ sono diversi tra loro, e tutti inversi di numeri naturali: sono cioè della forma $1/n$. Sapendo che le differenze tra termini consecutivi sono tutte uguali, cioè che $x_2 - x_1 = x_3-x_2=x_4- x_3$ = . . . , possiamo affermare che il numero $k$...
Poi le possibilità.
Nota che da nessuna parte dice $x_k=1/k$. Quindi la risposta esatta è che $k$ è illimitato. Metti che vuoi arrivare almeno $k=100$. Allora ti basta prendere $x_1=1/{\prod_{i=2}^{100}i}$ ed $x_j=j*x_1$ se $j>1$.
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