In-sanilandia

[axpgn]

Dal paese dei "sinceri o bugiardi" al paese dei "sani o pazzi" il passo è breve.

Nella comunità di In-sanilandia, tutto quello che le persone sane credono o pensano sia vero, è assolutamente vero mentre tutto quello che le persone pazze credono o pensano sia vero, è assolutamente falso.

Girovagando per il paese ci siamo imbattuti, dapprima, in un gruppo di amici, come Bob e Billy, per esempio.
Bob ci ha detto che pensa che entrambi siano pazzi.
Cosa ne deducete riguardo a loro? Perché?
Oppure come Charlie e Chris; Charlie pensa che almeno uno di loro due sia pazzo.
Chi è pazzo dei due? Chi è sano? Perché?
E poi ci sono le gemelle Jenny e Jinny; Jenny pensa che siano uguali in tutto, cioè Jenny pensa che siano entrambe sane o entrambe pazze.
Sono sane? O no? Perché?

Alla prossima

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

"axpgn":Girovagando per il paese ci siamo imbattuti, dapprima, in un gruppo di amici, come Bob e Billy, per esempio.
Bob ci ha detto che pensa che entrambi siano pazzi.
Cosa ne deducete riguardo a loro? Perché?

Se quello che Bob pensa, fosse vero, allora non potrebbe essere pazzo. Dall'assurdo si deduce quindi che egli crede il falso, ergo trattasi di un pazzo. Inoltre, affinché la diagnosi tenga, a Billy non resta che essere sano!

"axpgn":Oppure come Charlie e Chris; Charlie pensa che almeno uno di loro due sia pazzo.
Chi è pazzo dei due? Chi è sano? Perché?

Se quello che Charlie pensa, fosse falso, il che equivale al fatto che entrambi siano sani, ci troveremmo davanti all'assurdo di un pazzo che per essere tale deve essere sano! L'assennato Charlie evidentemente ha preferito tenersi sul vago per evitare una reazione da parte di quel povero pazzo di Chris!


Oppure molto più cinicamente:



dove:
- $A$ è l'autore del pensiero e $B$ il compagno di turno;
- $S$ e $P$ stanno rispettivamente per sano e pazzo;
- ogni riga rappresenta uno dei 4 casi possibili;
- in verde abbiamo i casi compatibili con il pensiero di $A$, in rosso quelli non compatibili;
- in grigio sono evidenziati i casi "impossibili", ossia quelli a cui è associata ad $A$ una $S$ rossa o una $P$ verde.

"axpgn":E poi ci sono le gemelle Jenny e Jinny; Jenny pensa che siano uguali in tutto, cioè Jenny pensa che siano entrambe sane o entrambe pazze.
Sono sane? O no? Perché?

Come si può vedere dalla terza tabella, l'unica cosa certa è la sanità mentale di Jinny.

[axpgn]

Perfetto!


Continuando la visita in questa amena località, abbiamo conosciuto alcune coppie un pochino complicate …

Per esempio, George ci ha detto che Lui pensa che sua moglie Connie creda di essere pazza.
Sara vero? Perché?

Oppure come Lea che pensa che suo marito Tommy creda che Lei sia pazza.
Chi è pazzo e chi no? Perché?

Con Teddy e Rose abbiamo parlato a lungo e noi supponiamo che Teddy creda che sua moglie Rose creda che Lui creda che Lei sia pazza.
Ma non ne siamo sicuri … … che ne dite? Perché?

Infine il caso più complicato è quello di Frank e Vivien: Vivien crede che Frank pensi che Lei creda che Lui pensi che Lei sia pazza?
Riuscite a capirci qualcosa? Perchè?

Alla prossima

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

"axpgn":Per esempio, George ci ha detto che Lui pensa che sua moglie Connie creda di essere pazza.
Sara vero? Perché?

Poiché ad In-sanilandia è (letteralmente) assurdo pensare di essere pazzi, mi sembra ovvio che George stia delirando. Assodata la follia di George, ne consegue che quanto egli pensa, ossia che "sua moglie Connie crede di essere pazza", sia falso. A tal proposito però mi sorge un dubbio: cosa possiamo dedurre dalla falsità del suddetto inciso? Che Connie non crede di essere pazza, nel senso che crede di essere sana, oppure che Connie non crede di essere pazza, nel senso che magari non si è mai posta il problema e quindi non ha mai partorito quel pensiero?
Ad ogni modo nel caso specifico entrambe le interpretazioni portano alla stessa conclusione, ossia che non possiamo dire nulla di certo circa la salute mentale di Connie.

[axpgn]

@Super Squirrel

"Super Squirrel":Poiché ad In-sanilandia è (letteralmente) assurdo pensare di essere pazzi, mi sembra ovvio che George stia delirando.

Esatto.

"Super Squirrel":… Che Connie non crede di essere pazza, nel senso che crede di essere sana, …

Questo, come da regole

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

"axpgn":Oppure come Lea che pensa che suo marito Tommy creda che Lei sia pazza.
Chi è pazzo e chi no? Perché?

Lui sicuro è pazzo, Lea chissà?!

Dal momento che:
1) se $A$ crede che $B$ sia pazzo allora $A$ e $B$ sono diversi;
2) se $A$ crede che $B$ sia sano allora $A$ e $B$ sono uguali;
ne consegue che se Lea è sana ci troviamo nel caso 1), se invece Lea è pazza ci troviamo nel caso 2).

[axpgn]

"Super Squirrel":Lui sicuro è pazzo, Lea chissà?!

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

"axpgn":Con Teddy e Rose abbiamo parlato a lungo e noi supponiamo che Teddy creda che sua moglie Rose creda che Lui creda che Lei sia pazza.
Ma non ne siamo sicuri … … che ne dite? Perché?

Direi che se foste in-sanilandesi, a differenza di Teddy e Rose, non ci sarebbe alcun dubbio circa la vostra pazzia!

Spero di non averla sparata grossa!
In ogni caso ho ragionato seguendo il seguente schema:



In pratica ho ricostruito tutti i casi possibili indicando in verde i pensieri provenienti da persone sane e in rosso quelli provenienti da persone pazze. Dal sottoinsieme $a$, che coincide col quesito precedente, si deduce che Teddy è pazzo, ma ciò è in contraddizione col fatto che $a$ è stato sviluppato partendo dall'ipotesi che Teddy fosse sano. Similmente dal sottoinsieme $b$ si deduce che Teddy è sano, ma anche in questo caso la conclusione a cui si giunge è in contrasto con l'assunzione costituita dal ramo iniziale.

[axpgn]

Ad In-sanilandia nessuno può credere quello che crede Teddy (come dimostrato) cioè non può esistere nessuna persona di quella comunità che possa dire quello.
Infatti è una nostra supposizione … avremo capito male …

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

"axpgn":Infine il caso più complicato è quello di Frank e Vivien: Vivien crede che Frank pensi che Lei creda che Lui pensi che Lei sia pazza?
Riuscite a capirci qualcosa? Perchè?

Sviluppando la mappa completa ne uscirebbe uno schema a 3 biforcazioni, di cui lo sviluppo del ramo iniziale superiore (Vivien sana) coincide con lo schema che ho postato in precedenza, relativo al caso di Teddy e Rose. La conclusione a cui si giunge è la medesima, e dal momento che è assurdo pensare qualcosa del genere, Vivien non può che essere pazza. Dallo sviluppo del ramo iniziale inferiore (Vivien pazza), che coincide con lo schema postato in precedenza con "pazzo" e "sano" invertiti, non si evince alcuna contraddizione, ma allo stesso tempo non si può trarre nessuna conclusione circa la salute mentale di Frank.
Inoltre vale la pena notare che:
- prevedendo lo schema 3 biforcazioni, ne consegue che alla terza alcuni sviluppi possono essere esclusi a priori, in quanto a monte, e più precisamente due biforcazioni prima, si era già fatta un'assunzione circa lo stato di salute mentale della stessa persona;
- utilizzando la simbologia descritta in precedenza, i pensieri relativi ai rami finali (ossia le "foglie", volendo attingere dal gergo relativo agli alberi binari) possono essere dedotti dal numero di rami rossi precedenti: se essi sono in numero pari allora vale la tesi originale, ossia Tizio è sano/pazzo; se essi sono invece in numero dispari vale il contrario, ossia Tizio è pazzo/sano.

[axpgn]

Vivien è pazza, Frank chissà

Salutiamo le nostre coppie e mentre ci avviamo sulla strada del ritorno, ci imbattiamo in tre ragazzotti simpatici, Dodi, Dodo e Dudù, i quali ci hanno detto che Dodi pensa che Dodo creda che Dudù sia pazzo, Dodo crede che Dodi sia pazzo mentre Dudù crede che Dodi sia sano.
Chi è sano e e chi è pazzo? Perché?

Siamo quasi arrivati in stazione, quando facciamo il nostro ultimo incontro: lo sceriffo McKenzie e la sua squadra.
E che squadra
Ecco cosa ci hanno raccontato ...
Terzo crede che Primo sia pazzo.
Quarto crede che Terzo e Secondo non siano entrambi pazzi.
Quinto crede che Primo e Quarto siano o entrambi pazzi o entrambi sani.
Sesto crede che Primo e Secondo siano entrambi sani.
Settimo crede che Quinto sia pazzo.
E lo sceriffo crede che Sesto e Settimo non siano entrambi pazzi ...

Quindi lo sceriffo McKenzie com'è? Sano o pazzo? Perché?

Va bene, il viaggio è finito, torniamo a casa. Alla prossima.

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

"axpgn":Salutiamo le nostre coppie e mentre ci avviamo sulla strada del ritorno, ci imbattiamo in tre ragazzotti simpatici, Dodi, Dodo e Dudù, i quali ci hanno detto che Dodi pensa che Dodo creda che Dudù sia pazzo, Dodo crede che Dodi sia pazzo mentre Dudù crede che Dodi sia sano.
Chi è sano e e chi è pazzo? Perché?

Come già detto:

"Super Squirrel":1) se $A$ crede che $B$ sia pazzo allora $A$ e $B$ sono diversi;
2) se $A$ crede che $B$ sia sano allora $A$ e $B$ sono uguali;

Queste le tabelle che lo dimostrano:



Quindi:
Il pensiero di Dodo ==> $Dodo!=Dodi$;
Il pensiero di Dudù ==> $Dudù=Dodi$.

Il pensiero di Dodi invece può essere così schematizzato:



Da cui si evince, dovendo essere Dodi uguale a Dudù, che Dodo è pazzo, e quindi che Dodi e Dudù sono sani.

[Super Squirrel]

"axpgn":Siamo quasi arrivati in stazione, quando facciamo il nostro ultimo incontro: lo sceriffo McKenzie e la sua squadra.
E che squadra
Ecco cosa ci hanno raccontato ...
Terzo crede che Primo sia pazzo.
Quarto crede che Terzo e Secondo non siano entrambi pazzi.
Quinto crede che Primo e Quarto siano o entrambi pazzi o entrambi sani.
Sesto crede che Primo e Secondo siano entrambi sani.
Settimo crede che Quinto sia pazzo.
E lo sceriffo crede che Sesto e Settimo non siano entrambi pazzi ...

Quindi lo sceriffo McKenzie com'è? Sano o pazzo? Perché?

Il tutto può essere così schematizzato:



Ipotizzando che lo sceriffo McKenzie sia pazzo:
- da $6$ si ricava che Sesto e Settimo sono pazzi;
- da $2$ si ricava che Quinto è sano;
- da $4$ si ricava che Primo è uguale a Quarto;
- da $1$ si ricava che Terzo è diverso da Quarto;
- da $3$ si ricava che Secondo e Quarto, e quindi anche Primo, sono sani e Terzo è pazzo;
- da $5$ si evince che è impossibile che Sesto sia pazzo e Primo e Secondo siano sani, si deduce quindi che l'ipotesi di partenza è sbagliata.

Fa piacere sapere che ad In-sanilandia la giustizia sia in buone mani!

P.S.
Se non ho sbagliato qualche passaggio si ricava anche che Sesto e Settimo sono diversi tra loro.

"axpgn":Va bene, il viaggio è finito, torniamo a casa. Alla prossima.

[axpgn]

Perfetto!

Au revoir,

Cordialmente, Alex