Il sorpasso
Questo esercizio me l'hanno dato alle gare a squadre di matematiche,anche se a dire la verità è più fisica che matematica.Vale 70 punti.Non avventatevi subito con una soluzione perchè non è così semplice come sembra...
Ad una gara di speedway hanno partecipato 2 moto,le quali hanno dovuto percorrere 199 giri di una pista ghiacciata. La prima moto ha tenuto per tutta la gara un'andatura costante di 100km/h. La seconda moto ha avuto un'andatura altalenante: ha infatti percorso il primo giro alla velocità costante di 101 km/h, il secondo giro alla velocità costante di 99 km/h, e così via percorrendo sempre i giri pari alla velocità di 99km/h e i giri dispari alla velocità di 101km/h.All'inizio le due moto sono partite appaiate dalla linea di partenza.
Determinare chi ha vinto e quanti sorpassi ci sono stati nel corso della gara(senza contare quello in partenza).
Ad una gara di speedway hanno partecipato 2 moto,le quali hanno dovuto percorrere 199 giri di una pista ghiacciata. La prima moto ha tenuto per tutta la gara un'andatura costante di 100km/h. La seconda moto ha avuto un'andatura altalenante: ha infatti percorso il primo giro alla velocità costante di 101 km/h, il secondo giro alla velocità costante di 99 km/h, e così via percorrendo sempre i giri pari alla velocità di 99km/h e i giri dispari alla velocità di 101km/h.All'inizio le due moto sono partite appaiate dalla linea di partenza.
Determinare chi ha vinto e quanti sorpassi ci sono stati nel corso della gara(senza contare quello in partenza).
Risposte
Fose manca un dato.
Quanto e' lungo un giro di pista ?
Credo sia un dato determinante.
Oppure bisogna fare delle considerazioni ?
Eugenio
Quanto e' lungo un giro di pista ?
Credo sia un dato determinante.
Oppure bisogna fare delle considerazioni ?
Eugenio
No, non c'è ne bisogno.
Secondo me vince quello che va sempre a 100 km/h e l'ultimo sorpasso dovrebbe avvenire al 100° giro, al termine del quale il sorpassato arriva con un ritardo maggiore di quanto può recuperare in un giro (dispari).
In tutto quindi, non contando il primo giro, 99 sorpassi.
Ciao
In tutto quindi, non contando il primo giro, 99 sorpassi.
Ciao
Giusto!
Non so perche' avevo letto 199 Km invece di 199 giri.
Non so perche' avevo letto 199 Km invece di 199 giri.
Ci ho provato e mi trovo con gli stessi risultati di Alice.
Primo quesito: Chi ha vinto ?
-----------------------------
Calcoliamo i tempi relativi delle 2 Moto:
Tempo (T1) della Moto n.1 a velocita' costante 100 Km/h
T1 = 199a / 100 = 1,99a
Tempo (T2) della Moto n.2 a velocita' altalenante 99/101 Km/h (100 giri a 101 km/h e 99 giri a 99 km/h)
T2 = 100a / 101 + 99a / 199 = 1,99099a
a = lunghezza della pista
Risposta:
Essendo T2 > T1 la Moto n.1 arriva per prima al traguardo.
**********
Secondo quesito: Quanti sorpassi sono avvenuti ?
------------------------------------------------
Calcoliamo il tempo di vantaggio che deve avere la Moto n.1 nei giri dispari affinche' non avvengano piu' sorpassi.
T1 = a / 100
T2 = a / 101
TV = T1 - T2 = a / 100 - a / 101 = a / (100*101)
Calcoliamo ora il vantaggio per ogni coppia di giri che si procura la Moto n.1
TVPCG = (a/101 + a/99) - 2a / 100 = (9900a + 10100a - 19998a) / (99*100*101) = 2a / (99*100*101)
Coppie di giri = TV / TVPCG = (99 * 100 * 101 * a) / (2 * 100 * 101 * a) = 99 / 2 = 49,5
Ultimo Giro con sorpasso effettuato dalla Moto n.2 = Coppie di giri * 2 = 99
Al 99° giro avviene l'ultimo sorpasso della Moto n.2
Quindi al 100° avviene l'ultimo sorpasso della Moto n.1
Risposta:
Avviene un sorpasso a giro fino al 100°, (non va considerato il sorpasso del 1° giro)
Avvengono in tutto 99 sorpassi.
**********
Spero di aver fatto bene i calcoli.
A presto,
Eugenio
Primo quesito: Chi ha vinto ?
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Calcoliamo i tempi relativi delle 2 Moto:
Tempo (T1) della Moto n.1 a velocita' costante 100 Km/h
T1 = 199a / 100 = 1,99a
Tempo (T2) della Moto n.2 a velocita' altalenante 99/101 Km/h (100 giri a 101 km/h e 99 giri a 99 km/h)
T2 = 100a / 101 + 99a / 199 = 1,99099a
a = lunghezza della pista
Risposta:
Essendo T2 > T1 la Moto n.1 arriva per prima al traguardo.
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Secondo quesito: Quanti sorpassi sono avvenuti ?
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Calcoliamo il tempo di vantaggio che deve avere la Moto n.1 nei giri dispari affinche' non avvengano piu' sorpassi.
T1 = a / 100
T2 = a / 101
TV = T1 - T2 = a / 100 - a / 101 = a / (100*101)
Calcoliamo ora il vantaggio per ogni coppia di giri che si procura la Moto n.1
TVPCG = (a/101 + a/99) - 2a / 100 = (9900a + 10100a - 19998a) / (99*100*101) = 2a / (99*100*101)
Coppie di giri = TV / TVPCG = (99 * 100 * 101 * a) / (2 * 100 * 101 * a) = 99 / 2 = 49,5
Ultimo Giro con sorpasso effettuato dalla Moto n.2 = Coppie di giri * 2 = 99
Al 99° giro avviene l'ultimo sorpasso della Moto n.2
Quindi al 100° avviene l'ultimo sorpasso della Moto n.1
Risposta:
Avviene un sorpasso a giro fino al 100°, (non va considerato il sorpasso del 1° giro)
Avvengono in tutto 99 sorpassi.
**********
Spero di aver fatto bene i calcoli.
A presto,
Eugenio
Anche io ho avuto gli stessi risultati.
Una cosa non capisco: perchè specificare la condizione di attrito irrilevante (pista ghiacciata), per poi dire che le due moto proseguono a velocità costante?
Una cosa non capisco: perchè specificare la condizione di attrito irrilevante (pista ghiacciata), per poi dire che le due moto proseguono a velocità costante?
Vince lo speedway che va i giri dispari a 101kmh e i giri pari a 99kmh, e aggiungo che conduce dal primo all'ultimo giro senza che avvenga alcun sorpasso!
Non escludo che tu abbia ragione, pero' sarei curioso di osservare le tue motivazioni.
A presto,
Eugenio
A presto,
Eugenio
perchè specificare la condizione di attrito irrilevante (pista ghiacciata), per poi dire che le due moto proseguono a velocità costante?
Scusate se insisto. Qualcuno sa rispondermi?
Il dato dell' attrito irrilevante secondo me è fondamentale, infatti una possibile soluzione potrebbe essere: le due moto non si muovono dal punto di partenza perciò la gara è annullata.
Inoltre anche se potessero partire il loro moto non sarebbe costante, ma uniformemente accelerato (supponendo un attrito dell' aria molto piccolo).
beh non ho fatto nessun calcolo... pero se ogni giro dispari lo speedway che va a 101 guadagna un certo spazio sullo B che va a 100 e se ogni giro pari B pareggia lo svantaggio andando lui stavolta 1kmh più veloce è chiaro che al 199° giro che è dispari A si trova in testa.
non ci sono sorpassi perchè ad ogni giro pari B pareggia soltanto senza superare A.
non ci sono sorpassi perchè ad ogni giro pari B pareggia soltanto senza superare A.
Credo che il tuo ragionamento non e' corretto.
La velocita' media non si calcola in base allo spazio percorso, ma in base al tempo.
Se faccio 100 km a 100 km/h e 100 km a 50 km/h la mia velocita' media non e' 75 km/h.
Calcoliamola:
1 ora a 100 km/h
2 ore a 50 km/h
vm = (100 * 1 + 50 * 2) / (1 + 2) = 66,6 km/h
Concordi ?
Eugenio
La velocita' media non si calcola in base allo spazio percorso, ma in base al tempo.
Se faccio 100 km a 100 km/h e 100 km a 50 km/h la mia velocita' media non e' 75 km/h.
Calcoliamola:
1 ora a 100 km/h
2 ore a 50 km/h
vm = (100 * 1 + 50 * 2) / (1 + 2) = 66,6 km/h
Concordi ?
Eugenio
@Davide11
Credo che l'unico in grado di rispondere alla tua domanda e' JvloIvk.
Ciao,
Eugenio
Credo che l'unico in grado di rispondere alla tua domanda e' JvloIvk.
Ciao,
Eugenio
secondo me se inserisci il tempo al posto dello spazio nella mia affermazione non credo sia sbagliato il ragionamento...
la differenza tra A e B è 1kmh a vantaggio di A nel giro 1 e 1kmh a vantaggio di B nel giro 2... perchè non dovrebbero essere pari?
la differenza tra A e B è 1kmh a vantaggio di A nel giro 1 e 1kmh a vantaggio di B nel giro 2... perchè non dovrebbero essere pari?
"Wayout":
secondo me se inserisci il tempo al posto dello spazio nella mia affermazione non credo che sia sbagliato il ragionamento...
Ha detto bene Eugenio: la velocità media si calcola facendo il rapporto tra il totale dello spazio percorso e il tempo totale impiegato; intuitivamente verrebbe da fare il tuo ragionamento, ma se fai due calcoli ti accorgi subito di aver fatto un errore; a tal proposito
indichiamo con A la moto che va a velocità costante e con B l'altra; detto s lo spazio percorso in un giro si ha che lo spazio totale percorso vale 199s.
Consideriamo un "parziale" formato da due giri, il primo di numero dispari (==>B va a 101 km/h), il secondo di numero pari (==> B va a 99 km/h).
Per percorrere due giri la moto A impiega un tempo Ta = 2s/100 (tralascio le unità di misura che altrimenti non ci si capisce più nulla...), mentre B impiega il tempo Tb = s/101 + s/99 = 200s/9999 > 200s/10000 = Ta, per cui B impiega più tempo per arrivare e A vince anche la "minigara".
Spero di essere stato chiaro
Per eugenio: concordo con il tuo ragionamento, e quindi con la soluzione a cui giungi...però attenzione agli errori di battitura, che altrimenti non ci si capisce più niente!!
"eugenio.amitrano":
T2 = 100a / 101 + 99a / 199 = 1,99099a
Grazie Mr_Blonde,
sei stato molto chiaro (oppure chiara ?)
A presto,
Eugenio
sei stato molto chiaro (oppure chiara ?)
A presto,
Eugenio
si scusate ho fatto un brutto errore... non ci ho pensato molto, e cmq mai sottovalutare sti problemini!
mr blonde sarà un maschio... o magari una femmina che si diverte a fare il mister...
mr blonde sarà un maschio... o magari una femmina che si diverte a fare il mister...
Maschio, maschio... 
dite un po'... nessuno di voi ha mai visto "Le Iene" di Tarantino, eh?
dite un po'... nessuno di voi ha mai visto "Le Iene" di Tarantino, eh?
Giusto.
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