Il quadrlatero
Propongo il seguente problema geometrico:
Un terreno a forma di quadrilatero ha tre lati che misurano 10 m, 20 m e 30 m. Determinare l'area massima del terreno.
Un terreno a forma di quadrilatero ha tre lati che misurano 10 m, 20 m e 30 m. Determinare l'area massima del terreno.
Risposte
Ho poco tempo quindi scrivo la mia risposta senza giustificarla, poi mi dirai se corrisponde alla tua. Comunque bellissimo problema!
A = 490,48
Si devono mettere due variabili: d, il quarto lato e ß, l’angolo tra un lato e una diagonale (quella che unisce gli altri due lati noti.
In tutti i casi possibili (10, 20 o 30 in mezzo) risulta
d = 41,13
ß = 90°
WonderP.
A = 490,48
Si devono mettere due variabili: d, il quarto lato e ß, l’angolo tra un lato e una diagonale (quella che unisce gli altri due lati noti.
In tutti i casi possibili (10, 20 o 30 in mezzo) risulta
d = 41,13
ß = 90°
WonderP.
La risposta è corretta.
Il problema però si può risolvere utilizzando una sola variabile.
Il problema però si può risolvere utilizzando una sola variabile.
Ho avuto una mezza intuizione ( che poi ho verificato con i conti, spiegherò anche perché solo mezza intuizione): se io ho due lati di un triangolo, l’area maggiore si ottiene quando questi sono a 90°.
Quindi ho preso due lati ed ho formato un angolo retto, il terzo lato dato l’ho messo a 90° rispetto all’ipotenusa (e) del triangolo formato dai primi 2 ( praticamente una diagonale del quadrilatero finale). A questo punto per trovare l’area totale ho sommato quella dei due triangoli.
Con semplicissimi conti sono arrivato a questi risultati:
90° tra 10 e 20 --> A = 435 m^2
90° tra 10 e 30 --> A = 460 m^2
90° tra 20 e 30 --> A = 480 m^2
Il ragionamento sin qui fatto ha però una falla poiché variando l’angolo retto ( che ora chiamiamo x) tra i due lati dati varia la base (e) del triangolo che ho imposto retto.
Ponendo come incognita l’angolo x ho impostato l’equazione per calcolarmi l’area totale
1° triangolo
A1 = a * b senx
2° triangolo
Ho calcolato e con il teorema dei coseni e = (a^2+b^2-2ab cosx)^1/2
A2 = c*e / 2
Quindi
A = A1 + A2 = (ab senx)/2 + ce/2 =
= (10 * 20 * senx)/2 + 30 * (10^2 + 20^2 – 2*10*20*cosx)^1/2 =
= 100 senx + 15*(500 – 400*cosx)^1/2
Devo trovare il massimo quindi derivo; con le dovute semplificazioni risulta
10cosx + 30senx * (5 – 4*cosx) = 0
10cosx * (5 – 4*cosx) = - 30senx
elevo al quadrato e semplifico (ricordando che sen^2 x = 1 – cos^2 x)
cos^2 x * (5 – 4*cosx) = 9*(1 – cos^2 x)
-4 cos^3 x + 14 cos^2 x – 9 = 0
risulta
cosx1 = -0,72937 x1 = 136,83° il massimo
cosx2 = 0,93694 x2 = 20,46° il minimo
Per verificare tale mezza intuizione ho utilizzato delle formule decisamente lunghe (4-5 righe), teorema dei coseni e Erone, in modo da esprimere A solo in funzione di x e ß ( vedi il mio post precedente) risolvendo in Excel, e i risultati tornano.
La mezza intuizione deriva dal fatto che ho imposto 90° tra una diagonale e un lato dato, se avessi fatto anche per l’altra diagonale e un altro lato dato, il problema sarebbe stato risolto e l’intuizione completa. Il risultato infatti vede gli angoli tra b ed f e tra e e c di 90°.
WonderP.
P.S. come una sola variabile? Non ci sono due graadi di libertà?
Modificato da - WonderP il 06/11/2003 13:39:31
Quindi ho preso due lati ed ho formato un angolo retto, il terzo lato dato l’ho messo a 90° rispetto all’ipotenusa (e) del triangolo formato dai primi 2 ( praticamente una diagonale del quadrilatero finale). A questo punto per trovare l’area totale ho sommato quella dei due triangoli.
Con semplicissimi conti sono arrivato a questi risultati:
90° tra 10 e 20 --> A = 435 m^2
90° tra 10 e 30 --> A = 460 m^2
90° tra 20 e 30 --> A = 480 m^2
Il ragionamento sin qui fatto ha però una falla poiché variando l’angolo retto ( che ora chiamiamo x) tra i due lati dati varia la base (e) del triangolo che ho imposto retto.
Ponendo come incognita l’angolo x ho impostato l’equazione per calcolarmi l’area totale
1° triangolo
A1 = a * b senx
2° triangolo
Ho calcolato e con il teorema dei coseni e = (a^2+b^2-2ab cosx)^1/2
A2 = c*e / 2
Quindi
A = A1 + A2 = (ab senx)/2 + ce/2 =
= (10 * 20 * senx)/2 + 30 * (10^2 + 20^2 – 2*10*20*cosx)^1/2 =
= 100 senx + 15*(500 – 400*cosx)^1/2
Devo trovare il massimo quindi derivo; con le dovute semplificazioni risulta
10cosx + 30senx * (5 – 4*cosx) = 0
10cosx * (5 – 4*cosx) = - 30senx
elevo al quadrato e semplifico (ricordando che sen^2 x = 1 – cos^2 x)
cos^2 x * (5 – 4*cosx) = 9*(1 – cos^2 x)
-4 cos^3 x + 14 cos^2 x – 9 = 0
risulta
cosx1 = -0,72937 x1 = 136,83° il massimo
cosx2 = 0,93694 x2 = 20,46° il minimo
Per verificare tale mezza intuizione ho utilizzato delle formule decisamente lunghe (4-5 righe), teorema dei coseni e Erone, in modo da esprimere A solo in funzione di x e ß ( vedi il mio post precedente) risolvendo in Excel, e i risultati tornano.
La mezza intuizione deriva dal fatto che ho imposto 90° tra una diagonale e un lato dato, se avessi fatto anche per l’altra diagonale e un altro lato dato, il problema sarebbe stato risolto e l’intuizione completa. Il risultato infatti vede gli angoli tra b ed f e tra e e c di 90°.
WonderP.
P.S. come una sola variabile? Non ci sono due graadi di libertà?
Modificato da - WonderP il 06/11/2003 13:39:31
ciao a tutti.
SEMBRANO due, WonderP!
Ma, se vale il teorema (che non saprei dimostrare (*)) che l'angolo tra lato e diagonale è retto (lo sono entrambi, ma me ne basta uno), allora il quarto punto del quadrilatero è "inchiodato" come intersez. tra retta e cerchio. (tra le 2 intersez. prendo la più "larga, che mi garantisce area maggiore).
Tony
(*) questa dimostrazione potrebbe diventare il prossimo quesito.
*quote:
P.S. come una sola variabile? Non ci sono due graadi di libertà?
Modificato da - WonderP il 06/11/2003 13:39:31
SEMBRANO due, WonderP!
Ma, se vale il teorema (che non saprei dimostrare (*)) che l'angolo tra lato e diagonale è retto (lo sono entrambi, ma me ne basta uno), allora il quarto punto del quadrilatero è "inchiodato" come intersez. tra retta e cerchio. (tra le 2 intersez. prendo la più "larga, che mi garantisce area maggiore).
Tony
(*) questa dimostrazione potrebbe diventare il prossimo quesito.
A me non pare giusto quello che dici o magari ho capito male.
Impongo un angolo retto tra lato e diagonale, cosa che devo imporre perché non è vera per qualsiasi quadrilatero (es. quadrato), questo è un grado di libertà che io ho vincolato. Affermi che “il quarto punto del quadrilatero è "inchiodato" come intersez. tra retta e cerchio.”
Immagino che la retta sia la diagonale e il cerchio sia il luogo dei punti su cui giace l’estremo libero di un altro lato, ma mentre questo è fisso la retta può variare la sua inclinazione mantenendo sempre i 90° con il lato. Vedi ,ad esempio, i miei due disegni sia nel primo che nel secondo l’angolo tre e e c è di 90°.
Quindi mi serve un’altra variabile per studiare questo grado di libertà.
WonderP.
Impongo un angolo retto tra lato e diagonale, cosa che devo imporre perché non è vera per qualsiasi quadrilatero (es. quadrato), questo è un grado di libertà che io ho vincolato. Affermi che “il quarto punto del quadrilatero è "inchiodato" come intersez. tra retta e cerchio.”
Immagino che la retta sia la diagonale e il cerchio sia il luogo dei punti su cui giace l’estremo libero di un altro lato, ma mentre questo è fisso la retta può variare la sua inclinazione mantenendo sempre i 90° con il lato. Vedi ,ad esempio, i miei due disegni sia nel primo che nel secondo l’angolo tre e e c è di 90°.
Quindi mi serve un’altra variabile per studiare questo grado di libertà.
WonderP.
Belli i disegni, WonderP. Sembra come se li avessi disegnati direttamente qui sul forum! Davvero un bell'effetto...
Quale programma hai usato per farli? Immagino Paint no, vero?
Modificato da - fireball il 07/11/2003 13:24:21
Quale programma hai usato per farli? Immagino Paint no, vero?
Modificato da - fireball il 07/11/2003 13:24:21
Se ti dico che le linee le ho tracciate con Excel mi credi? Poi ho fatto stamp ed incollato in Pain Shop Pro; ho visto che hai inserito qualche formuletta in trasparenza anche tu!
Il pittore WonderP.
Il pittore WonderP.
Sì, e devo dire che crea un bell'effetto. Penso tu ti riferisca al limite. Infatti in MathType è inclusa un'opzione che permette di cambiare il colore e il carattere del testo immesso. Ho fatto in modo che la formula comparisse sul forum come compare il testo normale.
E come hai fatto, con Excel? Vedi Office non mi è molto simpatico, a parte Word...
E come hai fatto, con Excel? Vedi Office non mi è molto simpatico, a parte Word...
Male, impara Excel è ESTREMEMENTE utile. Ho semplicemente ristretto la griglia (che puoi ho tolto, c’è un’opzione) e ho disegnato dei segmenti tenendo premuto Alt così da posizionarli agli angoli delle celle.
Per WonderP.
A me sembra che la tua intuizione sia stata completa.
Infatti gli angoli compresi tra i lati b-f ed e-c devono essere retti.
Da questo deriva che il quadrilatero di area massima è quello inscritto in una semicirconferenza il cui diametro coincide con il lato variabile del quadrilatero.
A me sembra che la tua intuizione sia stata completa.
Infatti gli angoli compresi tra i lati b-f ed e-c devono essere retti.
Da questo deriva che il quadrilatero di area massima è quello inscritto in una semicirconferenza il cui diametro coincide con il lato variabile del quadrilatero.
quindi uno se la cava pulitamente, calcolando il quarto lato dalla
[1] 2 * ( asin(L1/x) + asin(L2/x) + asin(L3/x) ) = Pi
e l'area
[2] A = ( L1*SQR(x^2-L1^2) + L2*SQR(x^2-L2^2) + L3*SQR(x^2-L3^2) )/4
invece di tutta la Carnotteria che avevo adoperato io, pur usando una sola variabile!
tony
[1] 2 * ( asin(L1/x) + asin(L2/x) + asin(L3/x) ) = Pi
e l'area
[2] A = ( L1*SQR(x^2-L1^2) + L2*SQR(x^2-L2^2) + L3*SQR(x^2-L3^2) )/4
invece di tutta la Carnotteria che avevo adoperato io, pur usando una sola variabile!
tony
Ma così non vale! Che il quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza lo sai a posteriori, dopo che hai risolto il problema, oppure a priori perché sai che così facendo ottieni un quadrilatero di area massima? Comunque è un vincolo che metti! Se il problema fosse stato quello di trovare un quadrilatero di area 450 (e non la massima) avreste dovuto utilizzare DUE variabili!
Anzi, provate a risolvere questo problema mettendo il lato da 20 m tra quello da 10 m e da 30 m.
WonderP.
Anzi, provate a risolvere questo problema mettendo il lato da 20 m tra quello da 10 m e da 30 m.
WonderP.
Anche secondo me il problema , avendo due gradi di libertà, necessita di due variabili. E' chiaro poi che ogni vincolo ne elimina una...
io parlo sempre col presupposto enunciato qualche giorno fa:
Bene, se vale quel teorema, basta una variabile. Quel teorema abbassa di uno il numero di gradi di libertà.
E' una questione di lana caprina, ammetto, e la tiro un pò avanti facendo un esempio, forse cannato:
se mi chiedono di calcolare il terzo lato di un triangolo in modo da ottimizzare qualcosa, il problema ha un grado di libertà; ma, se le occulte viscere delle frasi implicano che (per un certo teorema che non conoscevo o a cui non avrei mai pensato) l'angolo tra i due lati dati è di 60 gradi, ecco che, allora, i gradi di libertà sono ridotti a zero.
La (ri)scoperta delle conclusioni di quel teorema l'ho fatta utilizzando (bruciando, direi) il grado di libertà iniziale.
Lana caprina, ripeto.
Quel che conta è che, finora, non mi pare che abbiamo dimostrato che l'area max si ha grazie alla "rettitudine" di quei 2 angoli.
tony
P.S.
perchè dici così?
la mia equaz. in x è indipendente dall'ordine dei fattori, come lo è il punto finale dell'arcata dei segmenti costruiti sotto il semicerchio (punto finale a cui imponiamo di arrivare alla seconda "imposta dell'arco"; se si disegna il semicerchio col lato incognito in basso lo si vede subito).
*quote:
... se vale il teorema (che non saprei dimostrare (*)) che l'angolo tra lato e diagonale è retto (lo sono entrambi,
....
(*) questa dimostrazione potrebbe diventare il prossimo quesito.
Bene, se vale quel teorema, basta una variabile. Quel teorema abbassa di uno il numero di gradi di libertà.
E' una questione di lana caprina, ammetto, e la tiro un pò avanti facendo un esempio, forse cannato:
se mi chiedono di calcolare il terzo lato di un triangolo in modo da ottimizzare qualcosa, il problema ha un grado di libertà; ma, se le occulte viscere delle frasi implicano che (per un certo teorema che non conoscevo o a cui non avrei mai pensato) l'angolo tra i due lati dati è di 60 gradi, ecco che, allora, i gradi di libertà sono ridotti a zero.
La (ri)scoperta delle conclusioni di quel teorema l'ho fatta utilizzando (bruciando, direi) il grado di libertà iniziale.
Lana caprina, ripeto.
Quel che conta è che, finora, non mi pare che abbiamo dimostrato che l'area max si ha grazie alla "rettitudine" di quei 2 angoli.
tony
P.S.
*quote:
Anzi, provate a risolvere questo problema mettendo il lato da 20 m tra quello da 10 m e da 30 m.
WonderP.
perchè dici così?
la mia equaz. in x è indipendente dall'ordine dei fattori, come lo è il punto finale dell'arcata dei segmenti costruiti sotto il semicerchio (punto finale a cui imponiamo di arrivare alla seconda "imposta dell'arco"; se si disegna il semicerchio col lato incognito in basso lo si vede subito).
Il problemino da me posto era solo un esempio per mettere in luce i due gradi di libertà. Tu imponi che il quadrilatero sia inscritto in una circonferenza, ma di quadrilateri con area 450 ce ne sono infiniti (porre nel mezzo un lato serviva solo come punto di partenza per un eventuale disegno), infatti la formula per calcolare l’area è una, ma essendoci 2 incognite, abbiamo infinite soluzioni.
Ho capito il tuo discorso e lo trovo giusto quando, appunto si tratta di massimizzare. Ora provo a fare la dimostrazione, anche se a prima vista la trovo difficile.
WonderP.
Ho capito il tuo discorso e lo trovo giusto quando, appunto si tratta di massimizzare. Ora provo a fare la dimostrazione, anche se a prima vista la trovo difficile.
WonderP.
Ho constatato una cosa e, di conseguenza, butto là un altro teorema, più generale di quello che sto cercando di dimostrare senza risultato:
"Date quattro aste rigide incernierate formanti un quadrilatero 'labile', la loro disposizione che rende max. l'area inclusa è quella in cui tutti i vertici giacciono su una circonferenza ..."
Detta così pare naturalissima, perchè avvicina il poligono alla forma circolare di area max; scommetterei che vale anche per poligoni diversi (ma non per il povero triangolo, che è per natura "isostatico"!).
Sogno? Se questo è vero, quell'altro ne è un'estensione:
"... se poi uno dei lati è allungabile a piacere, conviene sceglierlo in modo che sia il diametro della circonferenza."
Ora i teoremi da dimostrare sono diventati due, la cosa si complica!
Ciao a tutti
Tony
apprendista dell'Ufficio Complicazione Affari Smplici
*Edited by - tony on 12/11/2003 02:45:26
"Date quattro aste rigide incernierate formanti un quadrilatero 'labile', la loro disposizione che rende max. l'area inclusa è quella in cui tutti i vertici giacciono su una circonferenza ..."
Detta così pare naturalissima, perchè avvicina il poligono alla forma circolare di area max; scommetterei che vale anche per poligoni diversi (ma non per il povero triangolo, che è per natura "isostatico"!).
Sogno? Se questo è vero, quell'altro ne è un'estensione:
"... se poi uno dei lati è allungabile a piacere, conviene sceglierlo in modo che sia il diametro della circonferenza."
Ora i teoremi da dimostrare sono diventati due, la cosa si complica!
Ciao a tutti
Tony
apprendista dell'Ufficio Complicazione Affari Smplici
*Edited by - tony on 12/11/2003 02:45:26
Una dimostrazione veloce del teorema di "area massima" di un quadrilatero convesso :
http://matmedia.ing.unina.it/Concorsi%2 ... agupta.htm
Il risultato si puo' estendere a tutti i poligoni.
Ciao a tutti !
..:: MatriX ::..
http://matmedia.ing.unina.it/Concorsi%2 ... agupta.htm
Il risultato si puo' estendere a tutti i poligoni.
Ciao a tutti !
..:: MatriX ::..
Ciao Matrix, un po’ che non ti si sente. Stavo anche io seguendo la strada del teorema di Pitagora generalizzato, ma per la dimostrazione iniziale (che è uguale a quella con il lato allungabile) non riesco proprio. Sto cercando la formula per calcolare l’area dati e due i due angoli tra lato e diagonale, cioè quelli che dovrebbero essere di 90° se il lato incognito giacesse su diametro del cerchi nel quale è inscritto il quadrilatero. Non riesco però ad esprimere il valore di questo lato in funzione dei due angoli.
WonderP.
WonderP.
Ciao WonderP, come stai ?
E' un pezzo che non visito il forum (per questioni di lavoro) e mi ha fatto piacere tornarvi per leggere le interessanti questioni poste, specialmente in questo thread. A proposito, sai quando inizia il nuovo torneo ? Spero quest'anno di avere tempo per parteciparvi.
Un salutone !
E' un pezzo che non visito il forum (per questioni di lavoro) e mi ha fatto piacere tornarvi per leggere le interessanti questioni poste, specialmente in questo thread. A proposito, sai quando inizia il nuovo torneo ? Spero quest'anno di avere tempo per parteciparvi.
Un salutone !
Inserisco la risposta inviatami da dragouno
Sono ragioniere e, quindi, non ho studiato trigonometria. Inoltre, al momento, non posseggo compasso e goniometro, ma solo una
riga e una squadra, peraltro alquanto vecchie e malandate. Poichè il problema del quadrilatero mi ha sùbito intrigato ed appassionato,
ho cercato inutilmente di seguire e capire i ragionamenti e le procedure proposti ed illustrati sul questo forum. Impossibilitato, quindi, dal punto di vista strettamente matematico, dopo alcuni giorni di 'ponzamento' ho tentato di risolverlo empiricamente, partendo da premesse logiche ed intuitive, con l'ausilio delle cognizioni matematiche e geometriche di mia dotazione. Pervenendo a questa soluzione:
PREMESSE:
A) Dovendo ottenere la 'massima' superficie possibile, i due angoli formati dalla connessione dei tre lati noti, devono essere ottusi. Dal che consegue che il lato 'ignoto' è maggiore del più lungo di quelli noti.
B)Di tutti i quadrilateri convessi, quello inscrittibile in un cerchio ha l’area massima. (*) Dal che consegue che il lato ignoto coincide con il diametro del cerchio circoscrivente.
(*) Tale mia premessa è stata poi confermata, quando già avevo ultimato il lavoro e dovevo metterlo in "bella" (specie per le immagini illustrative), dalla "formula di Brahmagupta", citata in uno degli ultimi posts.
C) Per un teorema di cui non ricordo il nome, "da qualsiasi estremità del diametro di un cerchio si tracci una corda e l'estremità di questa sia congiunta all'altra estremità del diametro stesso, l'angolo compreso è sempre retto, quale che sia la lunghezza della prima corda tracciata".
D) Le possibili sequenze, in senso antiorario, dei tre lati noti sono: a-b-c, b-a-c, e a-c-b (le altre combinazioni sono solo inversioni o riflessioni delle predette. E' da notare, peraltro che le prime due sequenze (pur essendo figurativamente diverse) sono, in pratica, equivalenti.
ATTUAZIONE PRATICA:
NOTA In ognuna delle figure, ho denominato, in ordine di grandezza lineare e in senso 'antiorario', i tre lati noti come "a", "b", "c", e quello
ignoto (pari al diametro del cerchio) come "d". I quattro angoli sono denominati A-B-C-D e le diagonali d1 e d2.
Ho preso un foglio di carta quadrettata (ogni quadretto = 1 mq.) ed ho tracciato una linea retta orizzontale che costituisse il percorso del diametro del cerchio e, quindi, del lato ignoto, la cui lunghezza era la misura da trovare. Poi ho preso altri due fogli di carta quadrettata, che mi consentivano di disporre sia dei loro angoli retti che di effettuare misurazioni. Ho disposto i due fogli, con gli angoli retti disposti verso il basso, posizionandoli rispettivamente all'estrema sinistra e all'estrema destra del percorso di cui sopra. Faccio l'esempio della figura I),in cui la sequenza dei tre lati noti è "a-b-c":
- sul lato sinistro del foglio di sinistra ho marcato il punto alla distanza di 10 quadratini (m. 10) dal vertice retto in basso
- sul lato destro del foglio di destra ho marcato il punto alla distanza di 30 quadratini (m.30) dal vertice retto in basso
- ho fatto coincidere sia il punto di sinistra che quello di destra con la retta orizzontale e poi ho gradatamente avvicinato fra di loro i due fogli, facendo sì che i punti marcati scorressero sulla citata linea e variando i due angoli A e D opportunamente fin quando fra i due vertici la distanza in linea retta non coincidesse con 20 quadretti (pari a m.20, lunghezza del lato b.
NOTA: La procedura sembra complicata (almeno a spiegarla), tuttavia è facilitata dal fatto che il bordo del lato destro del foglio di sinistra deve sovrapporsi al punto marcato sul bordo del lato destro, e viceversa. Così facendo ci si rende addirittura conto che, realizzate le condizioni di cui sopra, la precitata distanza fra i due vertici retti è automaticamente la misura del terzo lato, cioè quello "centrale", nel caso in esame il lato b.
Da questa sperimentale prova empirica, ed una volta effettuate le necessarie misurazioni, risulterebbe che:
- il lato ignoto misura m. 41,18 appross., e coincide con il diametro del cerchio circoscrivente
- i tre quadrilateri realizzabili hanno tutti la stessa superficie, corrispondente a mq. 493,66 appross.
- all'interno di tutti e tre i quadrilateri realizzabili sono identificabili due triangoli rettangoli, ognuno costituito dal lato d (ex ignoto) in qualità
di 'ipotenusa', mentre i due cateti sono costituiti da uno dei lati noti (purchè adiacente a d) e una delle due diagonali del quadrilatero.
A me, ovviamente, sembra tutto a posto e regolare. Tuttavia, l'unico post in cui figurino le risposte "effettive" è il primo, di Wonder P , inquanto tutti gli altri contengono teorie e formule (che io, per le ragioni esposte, non posso sviluppare) ma nessuno cita i risultati cui portano tali formule. E poichè, purtroppo, i risultati citati da Wonder P (quarto lato = m. 41,13 e Area = mq. 490,98) temo che i miei possano essere molto probabilmente errati. Vostri lumi al riguardo ?
P.S.come si sviluppa l'equazione di Tony: "[1] 2 * ( asin(L1/x) + asin(L2/x) + asin(L3/x) ) = Pi" ,in funzione di x, e cioè: "x = ???". Grazie
Sono ragioniere e, quindi, non ho studiato trigonometria. Inoltre, al momento, non posseggo compasso e goniometro, ma solo una
riga e una squadra, peraltro alquanto vecchie e malandate. Poichè il problema del quadrilatero mi ha sùbito intrigato ed appassionato,
ho cercato inutilmente di seguire e capire i ragionamenti e le procedure proposti ed illustrati sul questo forum. Impossibilitato, quindi, dal punto di vista strettamente matematico, dopo alcuni giorni di 'ponzamento' ho tentato di risolverlo empiricamente, partendo da premesse logiche ed intuitive, con l'ausilio delle cognizioni matematiche e geometriche di mia dotazione. Pervenendo a questa soluzione:
PREMESSE:
A) Dovendo ottenere la 'massima' superficie possibile, i due angoli formati dalla connessione dei tre lati noti, devono essere ottusi. Dal che consegue che il lato 'ignoto' è maggiore del più lungo di quelli noti.
B)Di tutti i quadrilateri convessi, quello inscrittibile in un cerchio ha l’area massima. (*) Dal che consegue che il lato ignoto coincide con il diametro del cerchio circoscrivente.
(*) Tale mia premessa è stata poi confermata, quando già avevo ultimato il lavoro e dovevo metterlo in "bella" (specie per le immagini illustrative), dalla "formula di Brahmagupta", citata in uno degli ultimi posts.
C) Per un teorema di cui non ricordo il nome, "da qualsiasi estremità del diametro di un cerchio si tracci una corda e l'estremità di questa sia congiunta all'altra estremità del diametro stesso, l'angolo compreso è sempre retto, quale che sia la lunghezza della prima corda tracciata".
D) Le possibili sequenze, in senso antiorario, dei tre lati noti sono: a-b-c, b-a-c, e a-c-b (le altre combinazioni sono solo inversioni o riflessioni delle predette. E' da notare, peraltro che le prime due sequenze (pur essendo figurativamente diverse) sono, in pratica, equivalenti.
ATTUAZIONE PRATICA:
NOTA In ognuna delle figure, ho denominato, in ordine di grandezza lineare e in senso 'antiorario', i tre lati noti come "a", "b", "c", e quello
ignoto (pari al diametro del cerchio) come "d". I quattro angoli sono denominati A-B-C-D e le diagonali d1 e d2.
Ho preso un foglio di carta quadrettata (ogni quadretto = 1 mq.) ed ho tracciato una linea retta orizzontale che costituisse il percorso del diametro del cerchio e, quindi, del lato ignoto, la cui lunghezza era la misura da trovare. Poi ho preso altri due fogli di carta quadrettata, che mi consentivano di disporre sia dei loro angoli retti che di effettuare misurazioni. Ho disposto i due fogli, con gli angoli retti disposti verso il basso, posizionandoli rispettivamente all'estrema sinistra e all'estrema destra del percorso di cui sopra. Faccio l'esempio della figura I),in cui la sequenza dei tre lati noti è "a-b-c":
- sul lato sinistro del foglio di sinistra ho marcato il punto alla distanza di 10 quadratini (m. 10) dal vertice retto in basso
- sul lato destro del foglio di destra ho marcato il punto alla distanza di 30 quadratini (m.30) dal vertice retto in basso
- ho fatto coincidere sia il punto di sinistra che quello di destra con la retta orizzontale e poi ho gradatamente avvicinato fra di loro i due fogli, facendo sì che i punti marcati scorressero sulla citata linea e variando i due angoli A e D opportunamente fin quando fra i due vertici la distanza in linea retta non coincidesse con 20 quadretti (pari a m.20, lunghezza del lato b.
NOTA: La procedura sembra complicata (almeno a spiegarla), tuttavia è facilitata dal fatto che il bordo del lato destro del foglio di sinistra deve sovrapporsi al punto marcato sul bordo del lato destro, e viceversa. Così facendo ci si rende addirittura conto che, realizzate le condizioni di cui sopra, la precitata distanza fra i due vertici retti è automaticamente la misura del terzo lato, cioè quello "centrale", nel caso in esame il lato b.
Da questa sperimentale prova empirica, ed una volta effettuate le necessarie misurazioni, risulterebbe che:
- il lato ignoto misura m. 41,18 appross., e coincide con il diametro del cerchio circoscrivente
- i tre quadrilateri realizzabili hanno tutti la stessa superficie, corrispondente a mq. 493,66 appross.
- all'interno di tutti e tre i quadrilateri realizzabili sono identificabili due triangoli rettangoli, ognuno costituito dal lato d (ex ignoto) in qualità
di 'ipotenusa', mentre i due cateti sono costituiti da uno dei lati noti (purchè adiacente a d) e una delle due diagonali del quadrilatero.
A me, ovviamente, sembra tutto a posto e regolare. Tuttavia, l'unico post in cui figurino le risposte "effettive" è il primo, di Wonder P , inquanto tutti gli altri contengono teorie e formule (che io, per le ragioni esposte, non posso sviluppare) ma nessuno cita i risultati cui portano tali formule. E poichè, purtroppo, i risultati citati da Wonder P (quarto lato = m. 41,13 e Area = mq. 490,98) temo che i miei possano essere molto probabilmente errati. Vostri lumi al riguardo ?
P.S.come si sviluppa l'equazione di Tony: "[1] 2 * ( asin(L1/x) + asin(L2/x) + asin(L3/x) ) = Pi" ,in funzione di x, e cioè: "x = ???". Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo