Il pulsante magico

[ghira1]

(Sentito da flyingcoloursmaths.co.uk forse un paio di anni fa)

Abbiamo un pulsante magico. Quando lo premiamo, genera un numero reale uniformemente a caso fa 0 e 1.

Io lo premo due volte e prendo il prodotto dei miei numeri. Tu lo premi una volta e prendi il quadrato del tuo numero.

Vince chi ha il risultato maggiore. Che probabilità ho di vincere?

[axpgn]

A intuito vinco io, statisticamente vinco io, analiticamente ci devo pensare

Penso che c'entri il fatto che a somma costante, il prodotto di due numeri è più alto se sono uguali; qui non abbiamo somme costanti ma dato che un numero vale l'altro, alla lunga è come se io estraessi sempre $1/2$ e tu due numeri che sommati danno uno.

Se trovo una spiegazione più seria, la posto

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Peraltro mi viene $45%$ vs $55%$ (o forse $4/9$ vs $5/9$ ? )

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Un'idea potrebbe essere questa ...

Chiamo i tuo numeri $a$ e $b$ e il mio $c$
Mediamente, un terzo delle volte avremo che $c$ sarà maggiore dei tuoi e un altro terzo minore, il restante terzo avremo $a Supponiamo che sia $c=a+x=b-y$ e quindi $ab=(c-x)(c+y)=c^2-cx+cy-xy$
Allora affinché tu vinca, deve essere $c(y-x)-xc>0$, ma $x-y$ sarà, sempre mediamente, metà delle volte positivo e l'altra metà negativo, quindi dipende tutto da $-xy$, che essendo sempre negativo, sbilancia la probabilità di vittoria a mio favore.

Funziona?

Cordialmente, Alex

[ghira1]

"axpgn":

Peraltro mi viene $45%$ vs $55%$ (o forse $4/9$ vs $5/9$ ? )

Sì, io vinco 4 volte su 9

Se c'è un modo "carino" per ottenere il risultato non lo conosco.