Il presenzialista.

[Mistral2]

Ci sono 1978 associazioni e ognuna di esse ha 40 membri. Se ogni coppia associazioni ha esattamente un membro in comune, provare che le 1978 associazioni hanno un membro in comune.

Saluti e Buona Pasqua

Mistral

[Pachito1]

Lo rinnovo perchè mi pare un quesito molto carino

[Mistral2]

"Pachito":Lo rinnovo perchè mi pare un quesito molto carino

Non credevo fosse così difficile di certo non si trova la soluzione su Wikipedia . Ok diciamo che se nessuno lo risolve scriverò la soluzione pasqua dell'anno prossimo.

Saluti

Mistral

[ficus2002]

"Mistral":Ok diciamo che se nessuno lo risolve scriverò la soluzione pasqua dell'anno prossimo.

forse, pasqua dell'anno prossimo è po' troppo tardi ...io non ho provato a risolverlo, però sono curioso di vedere la soluzione.

[Mistral2]

un refresh nella speranza che qualcuno prenda seriamente la soluzione di questo problema.

ciao

Mistral

[pjcohen]

Edit: ho cancellato una sciocchezza che ho scritto e che MaMO ha corretto.

[MaMo2]

Ma così le prime 50 associazioni hanno due membri in comune (k e $a_1$) mentre il problema specifica che ogni coppia di associazioni ha un solo membro in comune.

[pjcohen]

Ha ragione MaMo, sorry!

[pjcohen]

Soluzione.

Sia $n$ il piu grande numero intero tale che esistono $n$ associazioni che hanno tutte un membro comune e sia $k$ il membro in comune. Mostriamo che $n\geq 1977/40$. Prendiamo una qualunque associazione $A$. Poiché ciascuna delle restanti 1977 ha un membro in comune con $A$, e i membri totali di $A$ sono 40, il numero di associazioni con un membro in comune è maggiore o uguale a $1977/40$.
Ora, se $n=1978$, non c'è nulla da dimostrare. Supponiamo allora $n<1978$. Allora esiste un'associazione $B$ che non contiene $k$. Ma poiché ha un membro in comune con ciascuna delle $n$ associazioni, e $n$ è maggiore di 40, segue che due associazioni hanno 2 membri in comune, k e un altro. Contraddizione.