Il numero "spezzato"

[axpgn]

Il numero $3025$ ha una particolarità: se lo "spezziamo a metà" ($30$ e $25$), sommiamo i due interi così ricavati ($30+25=55$) ed infine eleviamo al quadrato il risultato ottenuto ($55^2=3025$), ritorniamo al punto di partenza ($3025$).
Esiste solo un altro intero di quattro cifre, tutte diverse fra loro, che ha questa caratteristica: qual è?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

9801

Con cifre ripetute non ne esistono, a meno di voler conteggiare 1, che come numero di quattro cifre è una decisa forzatura.
Ciao

[axpgn]

Beh, no ... ce n'è un altro oltre al numero uno (sul quale tornerò successivamente)

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Non è un problema. Se ti facilita la digestione mettici anche lo zero: come numero di quattro cifre è decisamente interessante!
Ciao

[axpgn]

A scanso di equivoci intendevo dire che esiste un numero di quattro cifre, non tutte necessariamente diverse fra loro, maggiore di mille e inferiore a $9999$ che possiede la stessa proprietà (oltre ai due già citati).

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Questa volta hai ragione tu: avevo perso un doppio segno!

2025

Ciao

[kobeilprofeta]

2025
3025

[axpgn]

Dato l'insieme formato dagli interi positivi che si possono comporre con $2n$ cifre, quanti fra questi elementi hanno la proprietà di cui abbiamo parlato (cioè come il $3025$ e gli altri tre) ?
Preciso che per comporre i numeri di $2n$ cifre si possono usare gli zeri non significativi; tanto per fare un esempio concreto se $n=3$ allora gli elementi dell'insieme saranno tutti gli interi che vanno da $000001$ a $999999$ (zero escluso quindi; se lo si vuole contare basta aggiungere uno alla quantità delle soluzioni trovate ...)

Cordialmente, Alex

[milizia96]

La risposta dovrebbe essere:

Sia $p$ il numero di fattori primi in $10^n-1$. Allora esistono esattamente $2^p$ numeri interi positivi di $2n$ cifre (compresi zeri non significativi) che hanno quella proprietà.

Alex, confermi? Più tardi metto il procedimento.

[axpgn]

@milizia96

la soluzione che conosco consiste in un algoritmo quindi non sono in grado di assicurarti al cento per cento se la tua soluzione è esatta ma confrontandole mi pare di poter dire che siano la stessa cosa, tranne per una condizione che nel mio algoritmo c'è ma non so se sia fondamentale oppure no.
Gran bella soluzione, l'ho verificata fino a $n=7$ e coincide; mi piacerebbe sapere come ci sei arrivato ...

Cordialmente, Alex

[milizia96]

Per oggi purtroppo non riesco a scrivere il mio procedimento, spero di trovare un po' di tempo domani...
Ti andrebbe di descrivere il tuo algoritmo?

[axpgn]

Senz'altro, aspettavo solo un po' nell'eventualità di altri interventi ...

Dato $n$ (nel significato assunto in tutto il thread) abbiamo i passi seguenti:

1) Calcolare $a=10^n-1$
2) Scomporre $a$ in fattori primi
3) Dalla "lista" dei fattori "buttare" il $3^i$ e "aggiungere" il fattore $1^1$
4) Prendere gli esponenti dei fattori rimasti e aumentarli di uno
5) Moltiplicare fra loro gli esponenti così "modificati"

Il prodotto risultante rappresenta la quantità di numeri composti da $2n$ cifre (zeri significativi compresi) che hanno la proprietà richiesta.

Esempio:

$n=3$
1) $a=10^3-1=999$
2) $3^3*37$
3) $1^1;37^1$
4) $1+1;1+1$
5) $2*2=4$

I numeri di $6$ cifre con la proprietà richiesta sono $4$

In generale, tra questi ce ne saranno sempre due "fatti" così: uno tipo $0-1, 00-01, 000-001, ...$ e l'altro tipo $8-1, 98-01, 998-001, ...$

Affinché le due modalità producano lo stesso risultato gli esponenti che scaturiscono dall'algoritmo non possono essere diversi da uno (salvo che per il fattore $3$) (e ovviamente non sono in grado di provarlo ... )

Per il procedimento prenditi tutto il tempo che vuoi (giorni, settimane, mesi ... )

Cordialmente, Alex

[milizia96]

Le due modalità non producono lo stesso risultato. Ad esempio, $10^{42}-1$ è multiplo di 49.
Ma perché quella regola per il 3?
Il tuo algoritmo si basa solo su "esperimenti" oppure ha una base "teorica"?

[axpgn]

"milizia96":... Il tuo algoritmo si basa solo su "esperimenti" oppure ha una base "teorica"? ...

Dovremmo chiederlo all'autore che però dovrebbe avere un paio di secoli ... difficile ...
Penso ci sia una base teorica (l'autore era certamente un matematico oltre ad altri fattori ...) ma non era esplicitata nel commento ...
Sei in grado di scomporre "tutto" $10^42-1$ ?
Se i fattori non fossero tanti potrei tentare di trovare le soluzioni ... (anche se ho già visto che ci sono $3,7,11,13,37,43, ...$ ... )

Cordialmente, Alex

[milizia96]

Nello spoiler si trova il mio procedimento (ho tralasciato diversi passaggi per non appesantire troppo il discorso)

Dobbiamo trovare quante sono le coppie di naturali $x$ e $y$ minori di $10^n$ tali che:
$(x+y)^2 = 10^nx + y$

Se $y = 0$, allora la condizione diventa: $x^2 = 10^nx$ che è soddisfatta per $x=10^n$ e $x=0$. La prima opzione non rispetta le nostre ipotesi, mentre la seconda produce la coppia $(0,0)$ che abbiamo deciso di escludere. Quindi d'ora in poi possiamo supporre $y>0$.

La condizione detta prima si può riscrivere:
$x^2 + 2xy + y^2 - 10^nx - y = 0$
$y^2 + y(2x-1) +x^2 -10^nx = 0$
Si tratta di un'equazione di secondo grado in $y$. Usiamo quindi la solita formula risolutiva delle equazioni di secondo grado (prendendo solo il segno $+$, perché non è difficile rendersi conto che l'altra soluzione non è positiva):
$y = \frac{1-2x+\sqrt{(2x-1)^2 -4x^2 + 4*10^nx)}{2} = \frac{1-2x+\sqrt{4*10^nx-4x+1}}{2}$
Affinché $y$ sia intero, è necessario che $4*10^nx-4x+1 = q^2$ con $q$ intero.
Si vede facilmente che $q^2$, e quindi anche $q$, è dispari.
La condizione si può riscrivere in questo modo: $x(10^n-1) = \frac{q+1}{2} * \frac{q-1}{2}$
Al secondo membro ci sono due numeri interi consecutivi, che pertanto sono primi fra loro. Sappiamo che il loro prodotto deve essere multiplo di $10^n-1$.

Distinguiamo quindi tanti casi diversi, tanti quante sono le coppie di naturali $(A,B)$ primi fra loro tali che $A*B=10^n-1$, e imponendo che $\frac{q+1}{2}$ sia multiplo di $A$ e $\frac{q-1}{2}$ sia multiplo di $B$.
Si vede facilmente che tali casi sono tutti "disgiunti" tra loro, nel senso che due casi diversi non possono produrre la stessa soluzione per la $x$. Inoltre, ogni soluzione appartiene necessariamente ad uno di questi casi.

A questo punto possiamo scrivere $\frac{q+1}{2} = Aa$ e $\frac{q-1}{2} = Bb$ con $a$ e $b$ naturali.
Quindi andando a sostituire (tralascio i passaggi) si ottiene $x=ab$ e $y=a(A-b)$. Affinché questa sia una soluzione, è necessario che $y$ sia positivo, cioé $0<=b
Si dimostra (identità di Bézout + piccole osservazioni) che, fissati $A$ e $B$, esiste esattamente una coppia di interi $(a,b)$ con $0<=b Quindi $x=ab Pertanto si ha una e una sola soluzione per ogni scelta di $(A,B)$.
Con un semplice argomento combinatorio, si ottiene il risultato che ho enunciato nel mio primo commento.

Nonostante tutti i "si dimostra...", "è facile vedere che..." che ho scritto, spero di non aver fatto errori rilevanti.

Nota:
Il procedimento descritto da me è "costruttivo", nel senso che una volta trovata la fattorizzazione di $10^n-1$ è immediato, con l'aiuto del computer, trovare esplicitamente le soluzioni. Anche tu sei in grado di costruire più o meno velocemente le soluzioni?

PS: ma chi è questo autore di cui parli?

[axpgn]

"milizia96":... Anche tu sei in grado di costruire più o meno velocemente le soluzioni? ...

Sì, certo: c'ho l'algoritmo (un altro ...)
Sul "velocemente" sorvoliamo ... dipende ... cmq le ho trovate fino a $n=5$
Sarebbe stata la richiesta finale del thread ... (il metodo per trovarle)

"milizia96":... PS: ma chi è questo autore di cui parli? ...

L'ho preso da un vecchio libro, una raccolta di passatempi matematici di diversi autori non sempre specificati; ne ho tenuti un po' ...


Per quanto riguarda il tuo procedimento, sto cercando di digerirlo (sono a metà ma chissà se lo finirò ...)

Cordialmente, Alex

[milizia96]

Allora sarebbe interessante vedere come funziona questo tuo algoritmo! Perché se realmente produce più soluzioni del mio (cosa che dovrebbe succedere la prima volta con $n=22$, perché $10^22-1$ è divisibile per $11^2$) allora significa che il mio ragionamento è errato in qualche punto...

[axpgn]

"milizia96":Allora sarebbe interessante vedere come funziona questo tuo algoritmo!

Anche questo ha molte analogie con quello che hai scritto; io lo posto ma i calcoli li fai tu (che le mie risorse sono scarse ...), se vuoi questa è la scomposizione di $10^22-1=3^2*11^2*23*4093*8779*21649*513239$ ...

Si inizia col fattorizzare $10^n-1$ in tutte le coppie di fattori possibili, con l'avvertenza di "tenere insieme" tutti i $3$ (per es. con $n=3$ abbiamo $37*27$ e $1*999$)
Poi si risolvono equazioni di questo tipo: $37z=27y+1$ (continuo con l'esempio per essere più chiaro).
Le soluzioni di questa sono $z=19$ e $y=26$.
Calcolo $37z=37*19=703$ ed elevo al quadrato il risultato $703^2=494209$ ed ecco un soluzione.
Ognuna di queste ha una complementare che potrei calcolarmi allo stesso modo (e cioè risolvendo $27z=37y+1$) ma si fa prima così $10^3-703=297$ e poi il quadrato $297^2=088209$.
Il caso particolare $1*999$ porta alle soluzioni particolari $998001$ e $000001$

Cordialmente, Alex

[milizia96]

Allora è proprio lo stesso algoritmo! Infatti la regola di "tenere insieme" non vale solo per il $3$, ma per qualunque primo che compaia con esponente $>1$, altrimenti l'equazione diofantea non avrebbe soluzioni.

Comunque mi sono accorto che il mio procedimento può essere notevolmente accorciato nella prima parte:

La condizione si può riscrivere come: $(x+y)(x+y-1) = (10^n-1)x$
I due fattori al primo membro sono due numeri naturali consecutivi il cui prodotto è multiplo di $10^n-1$. E si continua come nel mio post precedente.

[axpgn]

Ottimo lavoro!

Penso che l'autore, nel suo commento aggiunto alla soluzione del quesito, si sia limitato a fornire ai suoi lettori gli elementi necessari per togliersi lo sfizio di qualche calcolo, ipotizzando giustamente che ben difficilmente qualcuno sarebbe riuscito a fattorizzare numeri a quarantaquattro cifre ...

Cordialmente, Alex