Il mio primo indovinello! :D
Ok sono dei teoremi un pò old però sono sempre alla moda.. 
Dato un operatore $(+,A)$ definito in un insieme A dimostrare che se e SOLO se $(+,A)$ è invertibile allora
$lim_(x->c)f(x)+g(x)=lim_(x->c)f(x)+lim_(x->c)g(x)$
e dimostrare che $EE'lim_(x->c)f(x)$ (non vi bloccate a solo una dimostrazione ma cercate di trovarne delle nuove..
)
Dato un operatore $(+,A)$ definito in un insieme A dimostrare che se e SOLO se $(+,A)$ è invertibile allora
$lim_(x->c)f(x)+g(x)=lim_(x->c)f(x)+lim_(x->c)g(x)$
e dimostrare che $EE'lim_(x->c)f(x)$ (non vi bloccate a solo una dimostrazione ma cercate di trovarne delle nuove..
)
Risposte
ciao,
ho letto la tua presentazione
in bocca al lupo per il teorema Mega-X
quanto all'indovinello, ci sono un po' di elementi non chiari
- non è che $A = RR$? O tu hai dato una definzione di limite per funzioni a valori in $A$? Ma allora su $A$ dovresti aver definito cosa sono gli intorni o giù di lì
- invertibile o commutativa?
- non è chiara l'ultima domanda. Quali ipotesi fai? Su $f$, su dove è definita, su $c$?
mate è anche la fatica della disciplina
ho letto la tua presentazione
in bocca al lupo per il teorema Mega-X
quanto all'indovinello, ci sono un po' di elementi non chiari
- non è che $A = RR$? O tu hai dato una definzione di limite per funzioni a valori in $A$? Ma allora su $A$ dovresti aver definito cosa sono gli intorni o giù di lì
- invertibile o commutativa?
- non è chiara l'ultima domanda. Quali ipotesi fai? Su $f$, su dove è definita, su $c$?
mate è anche la fatica della disciplina
Mannaggia a me dovevo dare più info..
1.MANNAGGIA A ME..
$(R, +)$
2. $(R, +)$ (e non $(+, R)$) è un gruppo e in più è invertibile
3. $f in (-infty, +infty) ^^ c in (-infty, +infty)$
ovviamente $f ^^ c in RR$
cmq non è un solo teorema che vorrei dimostrare.. voglio proprio diventare un dottore in scienze matematiche (e magari anche fisiche.. (Anche se è moooolto dura..))
1.MANNAGGIA A ME..
$(R, +)$2. $(R, +)$ (e non $(+, R)$
) è un gruppo e in più è invertibile3. $f in (-infty, +infty) ^^ c in (-infty, +infty)$
ovviamente $f ^^ c in RR$
cmq non è un solo teorema che vorrei dimostrare..
voglio proprio diventare un dottore in scienze matematiche (e magari anche fisiche.. (Anche se è moooolto dura..))
"Mega-X":
Mannaggia a me dovevo dare più info..
no, migliore info
"Mega-X":
2. $(R, +)$ è un gruppo e in più è invertibile
invertibile? chi? cosa?
e, comunque, ci stiamo ritrovando col solito teorema sul limite di una somma
"Mega-X":
3. $f in RR$
$f \in RR$??? sei sicuro?
$f:E -> RR$, con $E \subseteq RR$, ed $E$ non vuoto, presumo.
"Mega-X":
cmq non è un solo teorema che vorrei dimostrare..
e dopo essere dottore è ancora peggio
non scoraggiarti, comunque!
ciao ciao
eeeh si ho scritto una marea di str****te..
però
n.1 $+$ non è la somma è un generico operatore che ho chiamato $+$
n.2 l'invertibilità era riferita all'operatore (e non lo ho specificato.. scusatemi..
)
n.3
n.4
e chi si scoraggia?
grazie per le correzioni..
ciauz..
però
n.1 $+$ non è la somma è un generico operatore che ho chiamato $+$
n.2 l'invertibilità era riferita all'operatore (e non lo ho specificato.. scusatemi..
)n.3
$f:E -> RR$, con $E \subseteq RR$, ed $E$ non vuoto, presumo.già..
n.4
e dopo essere dottore è ancora peggio
non scoraggiarti, comunque!
e chi si scoraggia?
grazie per le correzioni..
ciauz..
"Mega-X":
e chi si scoraggia?
bene!
ancora una cosa
- tu fai riferimento ad un operatore su $RR$, che indichi col simbolo $+$ (precisando che non stai parlando della solita somma fra numeri reali) e che questo operatore è invertibile
- dici anche che $(RR,+)$ è un gruppo
ma allora mi sa che c'è qualche problema terminologico
per me, se dici che $(RR,+)$ è un gruppo, immagino che "$+$" sia una "operazione su $RR$", cioè che sia una applicazione da $RR \times RR$ in $RR$
ma allora non mi torna il fatto che tu chiami $+$ "operatore" e che tu dica che è invertibile
puoi chiarirmi queste cose?
ri-ri-ri-ciao
Premessa: Qui si vede la mia ignoranza..
diciamo che $a + b = f(a,b)$
con operatore invertibile intendo che $f(x)$ diventa $f^-1(a,b)$
faccio un esempio per farti capire
la somma ha come operatore "invertito" la sottrazione
quindi se $(RR,+)$ (+ non è la somma!) è invertibile (o non so come cacchio si dice.. (vedi premessa..)) allora
$lim_(x->c)(f(x)+g(x)) = lim_(x->c)f(x)+lim_(x->c)g(x)$
in poche parole è un estensione a qualunque tipo di operatore nei reali che sia un gruppo e che sia "invertibile"..
(ok devo studiare più seriamente le cose e senza fretta.. che sta situazione mi serva da lezione..)
diciamo che $a + b = f(a,b)$
con operatore invertibile intendo che $f(x)$ diventa $f^-1(a,b)$
faccio un esempio per farti capire
la somma ha come operatore "invertito" la sottrazione
quindi se $(RR,+)$ (+ non è la somma!) è invertibile (o non so come cacchio si dice.. (vedi premessa..
)) allora$lim_(x->c)(f(x)+g(x)) = lim_(x->c)f(x)+lim_(x->c)g(x)$
in poche parole è un estensione a qualunque tipo di operatore nei reali che sia un gruppo e che sia "invertibile"..
(ok devo studiare più seriamente le cose e senza fretta.. che sta situazione mi serva da lezione..
)
Si capisce comunque, ma prova ad aggiungere le parentesi $lim_(xtoc)(f(x)+g(x))$.
"Mega-X":
ok devo studiare più seriamente le cose e senza fretta..
boh, secondo me più che altro bisogna trovare un buon equilibrio: certo uno studio troppo affrettato di "cose nuove" può non essere una soluzione effciente
comunque, dai, ci vuole un po' di tempo per impadronirsi di un uso corretto della terminologia e delle notazioni matematiche, specialmente laddove ci si avventuri su terreni nuovi
"Mega-X":
che sta situazione mi serva da lezione..
bene! come prof sono contento
Ho fatto il mio mestiere... chiudo questo post osservando che mi sa che tu hai usato il simbolo "$f$" per indicare due cose diverse, nel tuo ultimo post (l'operatore e la funzione di cui vuoi sapere il limite)
sulla base di tutte le precisazioni fatte fin qui nel thread, ti proprorrei di provare a riscrivere daccapo il problema che volevi porre, visto che dopo tutti questi post magari si è perso il filo del discorso
ri-ri-ri-ri-ciao
ok riscrivo TUTTO quanto..
dimostrare che per
$lim_(xtocinRR)(f(x)+g(x)) = lim_(xtocinRR)f(x)+lim_(xtocinRR)g(x)$
con
$f : RR to RR$ e $g : RR to RR$
e $(RR, +)$ sia un gruppo, + è un operatore binario e sia INVERTIBILE (era questo il termine giusto..)
(In poche parole è il teorema generalizzato del teorema della somma del limite di 2 funzioni solo che al posto della somma ci stia un operatore che opera nei reali che sia un gruppo e che in più sia invertibile)
e poi dimostrare che (questo e oooold) $EE^{\prime}lim_(xtocinRR)f(x)=linRR$ (e datene un bel pò.. non solo 1)
dimostrare che per
$lim_(xtocinRR)(f(x)+g(x)) = lim_(xtocinRR)f(x)+lim_(xtocinRR)g(x)$
con
$f : RR to RR$ e $g : RR to RR$
e $(RR, +)$ sia un gruppo, + è un operatore binario e sia INVERTIBILE (era questo il termine giusto..
)(In poche parole è il teorema generalizzato del teorema della somma del limite di 2 funzioni solo che al posto della somma ci stia un operatore che opera nei reali che sia un gruppo e che in più sia invertibile)
e poi dimostrare che (questo e oooold) $EE^{\prime}lim_(xtocinRR)f(x)=linRR$ (e datene un bel pò.. non solo 1
)
quindi?!!?
"Mega-X":
e $(RR, +)$ sia un gruppo, + è un operatore binario e sia INVERTIBILE (era questo il termine giusto..
In un gruppo $(G,+)$ l'operatore + e' sempre invertibile, altrimenti che gruppo sarebbe!!
G1) - proprietà associativa: dati a,b,c appartenenti a G, vale (a * b) * c = a * (b * c).
G2) - esistenza dell'elemento neutro: esiste in G un (unico) elemento neutro rispetto al prodotto, cioè tale che a * e = e * a = a per ogni a appartenente a G.
G3) - esistenza dell'inverso: ad ogni elemento a di G è associato un elemento b, detto inverso di a , tale che a * b = b * a = e.
.. sorry..
RIFORMULANDO PER L'ULTIMA VOLTA..
dimostrare che per
$lim_(xtocinRR)(f(x)+g(x))=lim_(xtocinRR)+lim_(xtocinRR)g(x)$
con le condizioni
$f:RRtoRR$ e $g:RRtoRR$ e $(RR,+)$ sia un gruppo
(In poche parole è il teorema generalizzato del teorema della somma del limite di 2 funzioni solo che al posto della somma ci stia un operatore generico che opera nei reali che sia un gruppo)
e poi dimostrare che (questo e oooold) $EE^{\prime}lim_(xtocinRR)f(x)=linRR$ (e datene un bel pò.. non solo 1)
G2) - esistenza dell'elemento neutro: esiste in G un (unico) elemento neutro rispetto al prodotto, cioè tale che a * e = e * a = a per ogni a appartenente a G.
G3) - esistenza dell'inverso: ad ogni elemento a di G è associato un elemento b, detto inverso di a , tale che a * b = b * a = e.
.. sorry..
RIFORMULANDO PER L'ULTIMA VOLTA..
dimostrare che per
$lim_(xtocinRR)(f(x)+g(x))=lim_(xtocinRR)+lim_(xtocinRR)g(x)$
con le condizioni
$f:RRtoRR$ e $g:RRtoRR$ e $(RR,+)$ sia un gruppo
(In poche parole è il teorema generalizzato del teorema della somma del limite di 2 funzioni solo che al posto della somma ci stia un operatore generico che opera nei reali che sia un gruppo)
e poi dimostrare che (questo e oooold) $EE^{\prime}lim_(xtocinRR)f(x)=linRR$ (e datene un bel pò.. non solo 1
)
il limite è definito al solito, con la solita condizione $|f(x)-l|<\delta$, dove il valore assoluto è quello che tutti conoscono?
se così è, allora non c'è nessuna speranza che il teorema sia vero: non è fatta alcuna ipotesi di compatibilità tra la "topologia" di $RR$ (sto parlando del codominio di $f$, s'intende) e la operazione $+$
ciao, alla prossima!
se così è, allora non c'è nessuna speranza che il teorema sia vero: non è fatta alcuna ipotesi di compatibilità tra la "topologia" di $RR$ (sto parlando del codominio di $f$, s'intende) e la operazione $+$
ciao, alla prossima!
"Mega-X":
$f : RR to RR$ e $g : RR to RR$ e $(RR, +)$ sia un gruppo
scusa ma dire $(RR, +)$ non significa che se all'operatore + gli dai 2 valori QUALUNQUE appartenente ai reali la + restituisce un reale?
perchè se si allora ho dato una definizione esauriente del teorema ed è dimostrabile (almeno se il mio procedimento è un procedimento buono)
cmq il valore assoluto è quello che noi conosciamo
risp. please
"Mega-X":
scusa ma dire $(RR, +)$ non significa che se all'operatore + gli dai 2 valori QUALUNQUE appartenente ai reali la + restituisce un reale?
certo
"Mega-X":
perchè se si allora ho dato una definizione* esauriente del teorema ed è dimostrabile (almeno se il mio procedimento è un procedimento buono)
la tua dimostrazione è sicuramente sbagliata
e la ragione che mi rende sicuro di quanto affermo è appunto questa:
"Mega-X":
cmq il valore assoluto è quello che noi conosciamo
* una annotazione terminologica: non si dà una definizione di un teorema, ma caso mai un enunciato di un teorema
per aspera ad astra
allora a sto punto provo a darla la dimostrazione..
per definizione di limite che tendendo a valori reali restituisce valori reali
$AA epsi > 0 ,EE delta : AA x in (c - delta, c + delta) => l - epsi < f(x) < l + epsi$
ora avendo $(RR, *)$ (che è un gruppo) e chiamando $l_1$ limite di f(x) e $l_2$ limite di g(x) abbiamo: (chiamiamo * l'operatore generico onde evitare confusioni)
$(l_1 - epsi) * (l_2 - epsi) < f(x) * g(x) < (l_1 + epsi) * (l_2 + epsi)$ (+ è l'operatore di somma, non quello generico (ecco perche volevo evitare confusioni..))
siccome aggiungendo o togliendo una certa quantita in una uguaglianza o disuguaglianza è la stessa cosa allora
dire
$(l_1 - epsi < f(x) < l_1 + epsi) * (l_2 - epsi < g(x) < l_2 + epsi)$
è come dire
$(l_1 - epsi) * (l_2 - epsi) < f(x) * g(x) < (l_1 + epsi) * (l_2 + epsi)$
quindi la tesi è dimostrata
ora se ho sbagliato per favore fatemelo notare cosicchè possa ri-ri-ri-ri-ri-ri-...-ricorreggermi per l'ennesima volta e possa imparare quella cosa in più che mi servirà in futuro
grazie per la vostra assidua correzione e collaborazione..
per definizione di limite che tendendo a valori reali restituisce valori reali
$AA epsi > 0 ,EE delta : AA x in (c - delta, c + delta) => l - epsi < f(x) < l + epsi$
ora avendo $(RR, *)$ (che è un gruppo) e chiamando $l_1$ limite di f(x) e $l_2$ limite di g(x) abbiamo: (chiamiamo * l'operatore generico onde evitare confusioni)
$(l_1 - epsi) * (l_2 - epsi) < f(x) * g(x) < (l_1 + epsi) * (l_2 + epsi)$ (+ è l'operatore di somma, non quello generico (ecco perche volevo evitare confusioni..
))siccome aggiungendo o togliendo una certa quantita in una uguaglianza o disuguaglianza è la stessa cosa allora
dire
$(l_1 - epsi < f(x) < l_1 + epsi) * (l_2 - epsi < g(x) < l_2 + epsi)$
è come dire
$(l_1 - epsi) * (l_2 - epsi) < f(x) * g(x) < (l_1 + epsi) * (l_2 + epsi)$
quindi la tesi è dimostrata
ora se ho sbagliato per favore fatemelo notare cosicchè possa ri-ri-ri-ri-ri-ri-...-ricorreggermi per l'ennesima volta e possa imparare quella cosa in più che mi servirà in futuro
grazie per la vostra assidua correzione e collaborazione..
"Mega-X":
siccome aggiungendo o togliendo una certa quantita in una uguaglianza o disuguaglianza è la stessa cosa allora
falso
tu stai dando per scontato la compatibilità fra l'operazione che hai messo su $RR$ e la relazione d'ordine usuale, il "$\le$", su $RR$. E' questa la chiave della compatibilità fra struttura algebrica e struttura topologica su $RR$ (mi riferisco, ovviamente, alle strutture usuali su $RR$). Non a caso ti avevo chiesto se usavi la solita topologia su $RR$; tieni presente che il "valore assoluto" (che usi in $|f(x)-l|<\delta$) è definito usando la relazione "$\le$".
La compatibilità con il "$\le$" sussiste per il solito $+$, ma non per una generica operazione che renda $RR$ gruppo
"Mega-X":
quindi la tesi è dimostrata
ehm...
Comunque, riassumendo, trovo molto produttivo il tuo porti rispetto alle obiezioni che hai ricevuto.
Naturalmente sarebbe anche opportuno provare a fare la strada un passo alla volta, anzichè zompare avanti e indietro a grandi balzi!
Se ti sembrasse strana la sicurezza che avevo mostrato (forse è meglio dire "ostentato"), tieni presente che si tratta di una questione di esperienza, di abitudine alla matematica. Per chi c'è in mezzo da una vita. certi inghippi si fiutano subito
$4*$ri-ciao
oramai che il post ha preso tuttaltra strada ti chiedo..
da dove devo ricominciare?
da dove devo ricominciare?
ed ecco un altro punto in cui la mia ignoranza brilla come un bordello d' olanda ('sta battuta l'ho presa da splinter cell chaos theory.. )
potresti spiegarmi meglio dove ho sbagliato?
grazie anticipatamente..
)potresti spiegarmi meglio dove ho sbagliato?
grazie anticipatamente..
andiamo con calma (e tieni presente che, almeno io, avrò qualche difficoltà a rispondere nei giorni che vengono)
tu sai che $(RR,+,*,\le)$ è un campo ordinato e completo?
immagino tu sappia cosa è un campo
e anche cosa sia un ordine totale
sai cosa è un campo ordinato?
(alla completezza ci pensiamo dopo...)
tu sai che $(RR,+,*,\le)$ è un campo ordinato e completo?
immagino tu sappia cosa è un campo
e anche cosa sia un ordine totale
sai cosa è un campo ordinato?
(alla completezza ci pensiamo dopo...)
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