Il mandarino di Ornella
Questo è un gioco sulla probabilità (finita) del quale ho trovato una soluzione, ma non sono per nulla certo che sia quella giusta! Qualcuno ha voglia di provare a risolverlo e verificare se ho commesso qualche (più che probabile...) errore ?
Esiste una soluzione più semplice ?
TESTO:
Ornella, dopo aver sbucciato il suo mandarino, constata che è formato da 8 spicchi identici.
Il fruttivendolo le ha detto che la probabilità che ciascuno degli 8 spicchi contenga semi è di $1/3$.
Qual è la probabilità che Ornella trovi (almeno) 4 spicchi consecutivi, cioè mezzo mandarino, senza semi ?
Mio tentativo di soluzione:
Probabilità che tutto il mandarino sia senza semi $p(8) = 1/3^8$,
Probabilità che vi siano (esattamente) 7 spicchi senza semi $p(7) = 1/3^7*2/3$
In generale, la probabilità di avere (esattamente) k spicchi senza semi è quindi $p(k) = 2^(8-k)/3^8$.
A questo punto ciascuna probabilità p(k) con k = 8,7,6,5,4 deve essere moltiplicata per la probabilità di trovare di volta in volta 4 spicchi consecutivi senza semi, e quindi i prodotti così ottenuti devono essere sommati. Se k è minore di 4, non è possibile trovare 4 spicchi consecutivi senza semi.
p(8) deve essere moltiplicato per 1, perché qualsiasi gruppo di 4 spicchi consecutivi è senza semi.
p(7) deve essere moltiplicato per $1/2$, perché se un solo spicchio ha semi, metà dei gruppi di 4 spicchi consecutivi lo contengono e metà non lo contengono.
p(6) deve essere moltiplicato per $3/14$: i modi di scegliere 2 spicchi con semi su 8 sono $ ( (8), (2) ) =28$
se i 2 spicchi sono adiacenti (8 possibilità su 28) ho 3 gruppi possibili di 4 spicchi consecutivi senza semi su 8,
se i 2 spicchi sono distanziati d 1 (8 possibilità su 28) ho 2 gruppi possibili di 4 spicchi consecutivi senza semi su 8,
se i 2 spicchi sono distanziati di 2 (8 possibilità su 28) ho 1 gruppo possibile di 4 spicchi consecutivi senza semi su 8,
se i 2 spicchi sono distanziati di 3, non ci sono gruppi di 4 spicchi consecutivi senza semi
$8/28*3/8+8/28*2/8+8/28*1/8=3/14$
p(5) deve essere moltiplicato per $1/14$: i modi di scegliere 3 spicchi con semi su 8 sono $ ( (8), (3) ) =56$
se i 3 spicchi sono adiacenti (8 possibilità su 56) ho 2 gruppi possibili di 4 spicchi consecutivi senza semi su 8,
se i 3 spicchi non sono adiacenti ma appartengono alla stessa metà del mandarino (16 possibilità su 56) ho 1 gruppo possibile di 4 spicchi consecutivi senza semi su 8
$8/56*2/8*2=1/14$
p(4) deve essere moltiplicato per $4/35$: i modi di scegliere 4 spicchi su 8 sono $ ( (8) (4) ) =70$
di tutte queste, solo 8 contengono un gruppo di 4 spicchi consecutivi senza semi
soluzione = $p(8)+1/2*p(7)+3/14*p(6)+1/14*p(5)+4/35*p(4)$
Esiste una soluzione più semplice ?
TESTO:
Ornella, dopo aver sbucciato il suo mandarino, constata che è formato da 8 spicchi identici.
Il fruttivendolo le ha detto che la probabilità che ciascuno degli 8 spicchi contenga semi è di $1/3$.
Qual è la probabilità che Ornella trovi (almeno) 4 spicchi consecutivi, cioè mezzo mandarino, senza semi ?
Mio tentativo di soluzione:
Probabilità che tutto il mandarino sia senza semi $p(8) = 1/3^8$,
Probabilità che vi siano (esattamente) 7 spicchi senza semi $p(7) = 1/3^7*2/3$
In generale, la probabilità di avere (esattamente) k spicchi senza semi è quindi $p(k) = 2^(8-k)/3^8$.
A questo punto ciascuna probabilità p(k) con k = 8,7,6,5,4 deve essere moltiplicata per la probabilità di trovare di volta in volta 4 spicchi consecutivi senza semi, e quindi i prodotti così ottenuti devono essere sommati. Se k è minore di 4, non è possibile trovare 4 spicchi consecutivi senza semi.
p(8) deve essere moltiplicato per 1, perché qualsiasi gruppo di 4 spicchi consecutivi è senza semi.
p(7) deve essere moltiplicato per $1/2$, perché se un solo spicchio ha semi, metà dei gruppi di 4 spicchi consecutivi lo contengono e metà non lo contengono.
p(6) deve essere moltiplicato per $3/14$: i modi di scegliere 2 spicchi con semi su 8 sono $ ( (8), (2) ) =28$
se i 2 spicchi sono adiacenti (8 possibilità su 28) ho 3 gruppi possibili di 4 spicchi consecutivi senza semi su 8,
se i 2 spicchi sono distanziati d 1 (8 possibilità su 28) ho 2 gruppi possibili di 4 spicchi consecutivi senza semi su 8,
se i 2 spicchi sono distanziati di 2 (8 possibilità su 28) ho 1 gruppo possibile di 4 spicchi consecutivi senza semi su 8,
se i 2 spicchi sono distanziati di 3, non ci sono gruppi di 4 spicchi consecutivi senza semi
$8/28*3/8+8/28*2/8+8/28*1/8=3/14$
p(5) deve essere moltiplicato per $1/14$: i modi di scegliere 3 spicchi con semi su 8 sono $ ( (8), (3) ) =56$
se i 3 spicchi sono adiacenti (8 possibilità su 56) ho 2 gruppi possibili di 4 spicchi consecutivi senza semi su 8,
se i 3 spicchi non sono adiacenti ma appartengono alla stessa metà del mandarino (16 possibilità su 56) ho 1 gruppo possibile di 4 spicchi consecutivi senza semi su 8
$8/56*2/8*2=1/14$
p(4) deve essere moltiplicato per $4/35$: i modi di scegliere 4 spicchi su 8 sono $ ( (8) (4) ) =70$
di tutte queste, solo 8 contengono un gruppo di 4 spicchi consecutivi senza semi
soluzione = $p(8)+1/2*p(7)+3/14*p(6)+1/14*p(5)+4/35*p(4)$
Risposte
Mille grazie !!
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