Il laghetto

[axpgn]

Siete seduti su una piccola barchetta che si trova esattamente al centro di un ameno lago perfettamente circolare.
La giornata è splendida, le montagne attorno a voi sono stupende ma ... c'è un ma: un demone vi aspetta sulle rive del lago e se vi prende sono guai (per voi).
Il demone non sa nuotare né dispone di una barca, inoltre se riuscite a sbarcare in un punto dove lui non c'è, siete salvi perché correte più veloce di lui.
Purtroppo c'è una complicazione: il demone è in grado di correre al quadruplo della velocità massima raggiungibile dalla vostra barca.
Come pensate di sfuggire al demone?

Cordialmente, Alex

[veciorik]

A spanne:

Sia $ \ r \ $ il raggio del lago.
La barca anticipa il demone se giunge alla riva percorrendo radialmente un tratto minore di $ \ (\pi r)/4\approx 0.785 \ r \ $ mentre il demone percorre mezza circonferenza $ \ \pi r \ $ e partono da punti opposti rispetto al centro del lago.
Per portarsi in opposizione dal demone la barca parte dal centro seguendo una spirale via via più fitta finché arriva a $ \ r/4 \ $ dal centro ossia a $ \ 0.75 \ r \ $ dalla riva.

Se fosse difficile seguire una spirale siffatta, può suddividere il tragitto in tre:
[list=1][*:42vlnnfd]radialmente verso il demone per circa $ \ 2/9 \ r$ [/*:m:42vlnnfd][*:42vlnnfd]circolarmente finché arriva in opposizione [/*:m:42vlnnfd][*:42vlnnfd]
radialmente verso la riva per circa $ \ 7/9 \ r$[/*:m:42vlnnfd][/list:o:42vlnnfd]
Sicuramente ci sono soluzioni più eleganti.

[Drazen77]

Mi posiziono a poco meno di $1/4$ del raggio dal centro del lago e giro in tondo intorno al centro.
Chiudo un giro più velocemente di quanto possa fare il demone accumulando qualche metro di vantaggio ad ogni giro e quindi continuo a girare finché non mi trovo dalla parte diametralmente opposta al demone rispetto al centro del lago.
A questo punto vado dritto verso riva e sbarco poco prima del suo arrivo.

Per esempio: in un lago di 400m di raggio, posizionandomi a 90m dal centro, dopo diversi giri intorno al centro del lago mi troverò in una posizione diametralmente opposta alla posizione del demone e sarò a 310m dalla riva. A questo punto andrò dritto verso riva e potrò sbarcare con qualche metro di vantaggio sul demone.

[veciorik]

La moglie diventa una iena se il barcaiolo ritarda più di 10 minuti.
Lui impiega 1 ora per approdare, dal centro del lago, se va dritto a riva.
Come fa il barcaiolo a sfuggire al demonio e alla iena ?

[axpgn]

La "rotta" circolare avente raggio $r/4$ è quella per cui le due velocità angolari sono uguali, pertanto finché la barca si mantiene "all'interno" di questo "cerchio" guadagna angolo rispetto al demone.
Peraltro partendo da una posizione, opposta a quella del demone e leggermente più interna a $r/4$ (per esempio $22%$ di $r$), è possibile raggiungere la riva sufficientemente in tempo.
Io penso che la "traiettoria" migliore sia una spirale che parte dal centro del lago in direzione sempre opposta alla posizione del demone, cioè una spirale in cui la velocità radiale è sempre quella massima diminuita della velocità tangenziale necessaria per tenere il demone sempre a $180°$; man mano che la velocità tangenziale aumenta quella radiale diminuisce, ma non sarà mai nulla perché, come detto, non è necessario arrivare a $r/4$ per puntare poi dritto a riva a tutta velocità.
Non credo ci sia una soluzione più "efficiente" ma non saprei dire se con questa soluzione si riesce a rimanere nella "tolleranza" di dieci minuti della moglie del barcaiolo ...
Tutte queste considerazioni sono fatte nell'ipotesi che il demone segua sempre la barca come una "calamita" mentre potrebbe fare scelte diverse. Purtroppo per lui, scelte alternative peggiorerebbero solo la situazione ...

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Penso che questo sia un metodo veloce:

Mi posiziono nel punto $A$ a poco meno di $r/4$. Il demone si posizionerà nel punto $N$.
Vado dritto nel punto $B$ e il demone si sposterà arrivando nel punto $K$.

A questo punto inizio a girare in continuazione da $B$ ad $A$ e da $A$ a $B$ e il demone mi verrà dietro accumulando sempre più ritardo. Quando avrò fatto due o tre giri mi troverò in posizione diametralmente opposta alla sua e andrò dritto verso riva.

[veciorik]

... della barchetta che si trova esattamente al centro di un ameno lago ...

Dal centro parte il barcaiolo e da lì si prendono le misure.

... nell'ipotesi che il demone segua sempre la barca come una "calamita" ...

Non mettiamolo in discussione: il suo obiettivo è acchiappare il barcaiolo.
Per semplicità supponiamo che il demone giri sempre in senso antiorario a massima velocità.
Anche la barca gira sempre in senso antiorario e non oltrepassa mai il prolungamento della congiungente tra il demone e il centro del lago: non conviene far invertire al demone il senso di rotazione.

Per semplicità l'unità di misura delle distanze sia il raggio del lago, la velocità della barca sia 1 (un raggio all'ora) e quella del demone sia 4.

Drazen77:
non conviene passare prima per A per poi andare a B, si perde tempo e si accorcia la distanza. Non conviene neppure andare dritti a B perché così il demone si avvicina e dopo bisogna girare troppo per ritornare in opposizione. Prova a fare due calcoli con B a 0.2 e a 0.22 dal centro: credo che il percorso sia troppo lungo.

Alex:
la spirale è OK in linea di principio ma complica i calcoli, almeno per le mie attuali capacità

Per tutti:
è indiscutibile che l'ultimo tratto debba essere rettilineo, radiale, lungo 3/4, percorso in 45 minuti.
Resta da stabilire come convenga muoversi dentro al cerchio di raggio 1/4 per impiegare meno di 25 minuti, senza farsi prendere da demonio.

[Drazen77]

"veciorik":è indiscutibile che l'ultimo tratto debba essere rettilineo, radiale, lungo 3/4

Devi partire da una distanza superiore a $3/4$ di $r$ dalla riva, perché partendo da $3/4$ di $r$ il demone arriva contemporaneamente a te.

[axpgn]

"veciorik":la spirale è OK in linea di principio ma complica i calcoli, almeno per le mie attuali capacità

Perché, a me no ? ... mi sembra proprio una questione per Erasmus il calcolo della spirale ...

Comunque, non vedo soluzioni migliori alla spirale.
La supposizione che fai

"veciorik":Per semplicità supponiamo che il demone giri sempre in senso antiorario a massima velocità.
Anche la barca gira sempre in senso antiorario

non è accettabile, a mio parere, perché presupporrebbe che il demone non attui la migliore strategia.
Faccio un esempio.
Supponiamo che il demone sia a Sud e la barca parta dritta verso Nord. Assumendo che il demone giri sempre in senso antiorario, dopo 25 minuti si troverebbe grosso modo ad un quarto di giro ossia a Est, perciò la barca, in quel momento, dovrebbe invece trovarsi ad Ovest alla distanza $r/4$ dal centro.
Questo è facile da ottenere: per esempio, la barca, dopo aver percorso $r/10$ in direzione Nord, virerebbe verso il punto che ho appena citato e basta Pitagora per dimostrare che 25 minuti sono sufficienti per completare questo percorso.
Ma il demone non è sciocco e appena la barca cambia rotta, anch'esso inverte il senso di marcia: così facendo, dopo 25 minuti si troverebbe ad un angolo molto minore di 180°, bloccando di fatto la fuga.
IMHO

Cordialmente, Alex

[veciorik]

Alex,
suggerivo di non scavalcare la linea che congiunge il demone al centro, perché non conviene: ideale è tenere la barca sempre allineata col centro e il demone, ma non trovo la formula della "spirale", anzi credo che la traiettoria giusta non sia propriamente una spirale.

Drazen77,
la lunghezza del tratto finale, rettilineo e radiale, è compresa tra 3/4 e (1 - $\pi$/4). Suggerivo 3/4 per semplificare i calcoli e per indirizzarti verso la mia soluzione.

A tutti,
nella mia soluzione la barca arriva 0.14 unità prima del demone e allunga del 14% rispetto alla direttissima, un ritardo contenuto che risparmia le ire della "iena". Variando alcuni parametri posso diminuire il margine sul demone e il ritardo.

[axpgn]

"veciorik":... ideale è tenere la barca sempre allineata col centro e il demone, ...

Ovvero l'obiettivo del barcaiolo è quello di avere sempre un angolo di 180° tra sé e il demone (perché se riesce a giungere a $r/4$ con quest'angolo è sicuro di farcela a raggiungere la riva).
Se questo è l'obiettivo della barca, non è certamente quello del demone quindi non si può supporre, anzi imporre, al demone di girare sempre nello stesso senso se non gli è conveniente.
Da ciò ne discende che è la barca che segue le mosse del demone e non viceversa; se la barca seguisse una rotta tutta sua indifferente dal movimento del demone, rischierebbe di trovarsi a $r/4$ con un angolo minore di 180° (anzi sarebbe certo) e non avrebbe la certezza di raggiungere la riva per prima.
D'altronde la barca è in grado di mantenere quell'angolo, in quanto finché naviga all'interno di $r/4$ può andare più veloce del demone.
Perché la spirale?
Provo a dettagliare meglio.
Premessa: l'obiettivo della barca è di mantenere sempre un angolo di 180° tra sè e il demone e contemporaneamente raggiungere la distanza di $r/4$ dal centro.
- la barca viaggia sempre alla velocità massima (in modulo)
- la barca parte in direzione opposta a dove si trova il demone in quel momento
- nello stesso momento il demone parte a circumnavigare il laghetto in un verso (quale sia è indifferente)
- immediatamente la barca vira nello stesso senso
- e continuerà a virare nello stesso senso del demone: se questi invertirà il senso, lo farà anch'essa
- la barca viaggerà ad una velocità angolare sempre correlata a quella del demone, in modo da mantenere sempre un angolo di 180° (né più né meno)
- man mano che la barca si allontana dal centro la componente tangenziale della velocità aumenterà (affinché riesca a tener lontano il demone) e dato che la velocità è costante, la velocità radiale diminuirà (senza mai arrivare a zero dato che la barca può permettersi di partire verso la riva quel 3% prima di $r/4$)
- la composizione di questi due moti è sicuramente una spirale che diventa sempre più "circolare", di cui non so determinare l'espressione analitica ma sicuramente è una spirale.

Cordialmente, Alex

[veciorik]

D'accordo su tutto eccetto la traiettoria a spirale.
Lo credevo anch'io, e l'avevo anche scritto, ma poi ho avuto una felice intuizione che spiegherò sotto spoiler.
Non posso imporre al demone di girare sempre antiorario però, se lui cambia verso e la barca lo imita immediatamente, nessuno ci guadagna: si complica solo la forma della traiettoria che va a zig-zag.
Questo vale finché l'angolo demone-centro-barca è 180° ma, se la barca si fissa a 179°, il demone perde terreno se cambia verso.
Ho rifatto i calcoli con l'angolo tenuto fisso a 179° ottenendo un anticipo sul demone di 0.12 e un ritardo di 0.14: questi sono i valori massimi quando la retta finale è lunga 0.75, ferma restando la traiettoria.

Ecco la mia soluzione, a parole:

Mentre il demone gira con raggio 1, la barca gira con raggio 1/8 attorno ad un punto che dista 1/8 dal centro e giace su un raggio che forma un angolo di 90° con l'asse demone-centro, oppure 91° per scongiurare il cambio di verso.
La barca giunge a 0.25 dal centro facendo mezzo giro mentre il demone compie un quarto di giro.
Così la barca percorre 0.75 + $\pi$/8 = 1.143, ritardando 0.143 ore (circa 8.5 minuti) rispetto alla direttissima.
Intanto il demone gira per $\pi/2$ + 3 = 4.57 radianti e arriva a $\pi$ - 3 - 1° = 0.124 dall'approdo della barca.

Per curiosità ho calcolato l'anticipo e il ritardo in funzione dell'angolo percorso prima della svolta finale diritta verso riva.
Ecco un esempio: il demone gira per 75° prima che la barca svolti: la barca anticipa il demone di 0.09 e ritarda di 0.09 (5.4 minuti) rispetto alla direttissima. Ecco il disegno:

[img]https://i.imgur.com/u0PiVDS.png?1[/img]

[axpgn]

@veciorik

Non so se sono riuscito ad interpretare correttamente la tua spiegazione quindi prendi le mie considerazioni con beneficio di inventario ...
Per giungere in $r/8$ la barca impiega sette minuti e mezzo (secondo i parametri che avevi impostato); in questo lasso di tempo, il demone "guadagna" quasi trenta gradi sulla barca (mezzo radiante), la quale, girando su $r/8$, dopo quasi $60°$ (un radiante) si riporta ad una distanza di mezzo giro dal demone (dato che va a velocità doppia, la barca intendo).
Ora se la barca continuasse su questa rotta a questa velocità si avvicinerebbe al demone invece di allontanarsi (senza che questo necessiti di invertire il suo senso di rotazione), questo perché l'angolo massimo tra i due NON può essere maggiore di $180°$.
Ammettiamo che la barca si mantenga all'opposizione del demone, ad un certo punto parte verso la riva: se parte in linea retta per passare da $r/8$ a $r/4$ impiegherà lo stesso tempo di prima, durante il quale il demone guadagnerà quel mezzo radiante che gli permetterà di trovarsi a poco più di $150°$ dalla barca quando questa giungerà a $r/4$, angolo sufficiente al demone per arrivare prima del barcaiolo.
Spero di essere stato chiaro ...

Cordialmente, Alex

[veciorik]

"axpgn":
Non so se sono riuscito ad interpretare correttamente la tua spiegazione quindi prendi le mie considerazioni con beneficio di inventario ...

Per giungere in $r/8$ la barca impiega sette minuti e mezzo ... ; in questo lasso di tempo, il demone "guadagna" quasi trenta gradi sulla barca ...

La barca parte da centro lago (0,0) e segue una semicirconferenza centrata in (0, 1/8) che passa per il centro del lago: la barca non passa mai per (0, 1/8).
Nel frattempo il demone va da 181° a 271°.
Durante queste manovre l'angolo demone-centrolago-barca resta fisso a 179°.
Infine la barca va a riva diritta per 0.75 mentre il demone recupera 3 radianti, quasi 172°, dei 179° di svantaggio.

[axpgn]

Adesso ho capito benissimo, purtroppo c'è un problema di fondo ...

Parti dal presupposto che il demone sia stupido ma non lo è: il suo obiettivo è quello di raggiungere la barca al momento dell'approdo, non di seguirla come fosse una calamita.
In questo caso, per esempio, potrebbe rimanere fermo lì dov'è, aspettare che la barca arrivi a $r/4$ e poi con comodo raggiungerla, dato che ci sarebbe un angolo solo di $90°$.
Come vedi, la maniera sicuramente certa di raggiungere la salvezza è quella di mantenere sempre un angolo barca-centro del lago-demone pari a $180°$ ed il modo più semplice di ottenere ciò è quello a spirale come composizione dei due moti (tangenziale con velocità pari a quella necessaria per avere la stessa velocità angolare del demone e radiale per differenza tra quella totale e quella tangenziale).

Cordialmente, Alex

[veciorik]

Mai pensato che il demone fosse stupido: lui tenta di diminuire l'angolo ma la barca si adopera per mantenerlo tra 179° e 181° e ci riesce nella zona centrale dove può sfruttare una maggiore velocità angolare: qui ogni tentativo del demone di ridurre l'angolo fallisce se la barca reagisce bene cambiando verso conformemente al demone.
Attenzione: cambiare verso non significa retrocedere sul tragitto già percorso bensì seguire l'immagine riflessa della traiettoria ideale rispetto all'asse demone-centrolago che fa da specchio.
Se il demone si ferma, la barca ne approfitta per fare un tratto radiale verso riva, guadagnando distanza.

Ma queste manovre a zig-zag sono sterili complicazioni rispetto alla scelta della traiettoria ideale.

Ho trovato la dimostrazione analitica che la mia traiettoria è quella ideale. Uso i simboli:

$v_r \quad $ velocità radiale
$v_t \quad $ velocità tangenziale
$v=1 \quad $ velocità scalare massima della barca, che assumo costante
$t \quad $ variabile tempo
$\theta \quad $ variabile angolo
$\omega = (d\theta)/(dt) = 4 \quad $ velocità angolare massima, che assumo costante
$r(\theta) \quad $ funzione incognita: traiettoria ideale espressa in coordinate polari[/list:u:151t607h]


poiché $ \quad v_t=\omega r=4r \quad $ e $ \quad v_r=(dr)/(dt)=(dr)/(d\theta)*(d\theta)/(dt)=4(dr)/(d\theta)$

$v_r^2+v_t^2=v^2=1 \quad $ diventa $\quad 4^2[((dr)/(d\theta))^2+r^2]=1 \quad $ ossia $ \quad [((dr)/(d\theta))^2+r^2]=(1/4)^2$

che, con i vincoli $ \quad r(0)=0 \quad $ e $ \quad (dr)/(d\theta)(0)=1 \ $, ha la semplice soluzione:

$ r=sin(\theta)/4 \quad $ da cui $ \quad (dr)/(d\theta)=cos(\theta)/4 $

che è proprio la mia circonferenza decentrata con raggio 1/8.
Non è una spirale !

[axpgn]

Eh, no, non ci siamo ...

Abbiamo già dimostrato che questa strategia è facilmente aggirabile, lo confermi tu stesso con la tua obiezione

"veciorik":Se il demone si ferma, ...

La tua strategia non è valida sempre ma solo se si verificano certe condizioni ... anche "andare dritti" se il demone si ferma è una strategia da provare: se il demone parte quando la barca ha passato $r/8$, per esempio, cosa fa la barca? Mah, dovremmo fare un bel po' di conti ...
La strategia giusta c'è: la barca deve sempre tenere il demone a $180°$ fino a $r/4$ e poi via dritta.
Questa funziona in ogni caso.
Parlo di "spirale" perchè la traiettoria è una spirale se il demone gira sempre nello stesso verso; se cambiasse spesso verso, la traiettoria della barca non sarebbe più "formalmente" una spirale però sarebbe una curva del tutto equivalente perchè formata da "archi di spirale" (della vera spirale) con "versi alternati".

Cordialmente, Alex

[veciorik]

"axpgn":
La tua strategia non è valida sempre ma solo se si verificano certe condizioni ... [nota]la mia "strategia" è valida in condizioni IMHO "normali" ( velocità costanti in verso e in modulo ) e non è sostanzialmente diversa dalla tua, ma forse non l'ho spiegata bene.[/nota]
La strategia giusta c'è: la barca deve sempre tenere il demone a $180°$ fino a $r/4$ e poi via dritta. [nota]OK; ho aggiunto una tolleranza $179°-180°$ [ laurea in fisica nel 1979 ] soltanto per non "imbarcarmi" nelle complicazioni indotte da eventuali variazioni arbitrarie della velocità (vettoriale) da parte del demone. Può andare dritta a riva anche poco prima di $ \ r/4 \ $, purché dopo $ \ (1 - \pi /4) r \ $, per accorciare i tempi.[/nota]
... la traiettoria è una spirale [nota]OK, ma solo se comprendi anche le spirali sinusoidali tra cui, in particolare, la "mia" semicirconferenza di equazione polare $ \quad r=sin(\theta)/4 \quad , \quad 0 \le \theta \le \pi/2 \quad $[/nota] se il demone gira sempre nello stesso verso; se cambiasse spesso verso, la traiettoria della barca non sarebbe più "formalmente" una spirale però sarebbe una curva del tutto equivalente perché formata da "archi di spirale" (della vera spirale) con "versi alternati". [nota]OK; per pignoleria aggiungerei la pausa del demone a cui la barca risponde con un tratto radiale, più efficace della pausa per evitare le ire della iena. Perché non ti convince ? L'angolo resta a 180° !
Nel caso estremo in cui il demone rallentasse la velocità, la barca dovrebbe adeguare la sua velocità a 1/4 oppure, più efficacemente, aumentare il proprio raggio di curvatura della sua "spirale".[/nota]

[axpgn]

Aspetta che ricapitolo ...

- quando parlo di "tua strategia" mi riferisco solo a quella col semicerchio con $r=1/8$ e poi via; quella "non è buona" perché c'è la contromisura. Se mi dici "ma se il demone sta fermo, allora faccio in un altro modo", mi sembra evidente che non è più quella strategia lì ma un'altra, no?
- l'alternativa "vado a zizgag ovvero se il demone cambia verso, lo faccio anch'io" oppure "se sta fermo vado dritto", di fatto è una conferma (un pelino più complicata) della mia tesi: bisogna tenere il demone sempre in opposizione (fino a $r/4$ e poi via). Questa è la scelta giusta, questa è l'essenza della strategia giusta (al di là della spirale)
- Quando parlo di $180$, di $r/4$, ecc. lo faccio per semplicità: lo so che la barca potrebbe partire prima (grossomodo a $22%r$) oppure lasciare il demone a qualche grado in meno di $180°$ ... non avevo voglia di fare calcoli precisi (soprattutto come i tuoi )
- Ho usato la parola "spirale" principalmente per la forma assunta dalla traiettoria però credo che anche "tecnicamente" si possa definire "spirale" perché ne esistono di diversi tipi ma non saprei proprio dirti quale ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Le soluzioni proposte sono ineccepibili: quella di drazen77 ha il vantaggio della semplicità, l'altra ha quello della rapidità di attracco, ma mi pare di difficile esecuzione quando il demone cambi diverse volte il verso di rotazione. Entrambe hanno come limite un rapporto fra le velocità massime inferiore a $ pi+1 $. Esistono altre strategie in grado di superare questo limite, ad esempio con il demone dopato che corre ad una velocità massima uguale a $ 4.4 $ volte quella della barca.
Ciao

[orsoulx]

Visto che non vi sono più interventi lascio delle indicazioni sulle due tecniche che permettono di superare il rapporto $ \pi + 1 $

a) dal limite del cerchio in cui si conserva l'opposizione si può procedere dirigendosi costantemente verso il punto della antipodale a quello dove si trova in quel momento il demone. Si descrive in questo modo una spirale (o rami di spirale se il demone decide di invertire il verso di percorrenza) che porta alla salvezza per rapporti di velocità fino a $4.4 $ circa.
b) si procede per segmenti costringendo il demone a cambiare il verso di rotazione, perché altrimenti non riuscirebbe ad arrivare al punto verso cui ci dirigiamo prima di noi, Il rapporto in questo caso può arrivare a superare $4.6$

Ciao