Il laghetto
Siete seduti su una piccola barchetta che si trova esattamente al centro di un ameno lago perfettamente circolare.
La giornata è splendida, le montagne attorno a voi sono stupende ma ... c'è un ma: un demone vi aspetta sulle rive del lago e se vi prende sono guai (per voi).
Il demone non sa nuotare né dispone di una barca, inoltre se riuscite a sbarcare in un punto dove lui non c'è, siete salvi perché correte più veloce di lui.
Purtroppo c'è una complicazione: il demone è in grado di correre al quadruplo della velocità massima raggiungibile dalla vostra barca.
Come pensate di sfuggire al demone?
Cordialmente, Alex
La giornata è splendida, le montagne attorno a voi sono stupende ma ... c'è un ma: un demone vi aspetta sulle rive del lago e se vi prende sono guai (per voi).
Il demone non sa nuotare né dispone di una barca, inoltre se riuscite a sbarcare in un punto dove lui non c'è, siete salvi perché correte più veloce di lui.
Purtroppo c'è una complicazione: il demone è in grado di correre al quadruplo della velocità massima raggiungibile dalla vostra barca.
Come pensate di sfuggire al demone?
Cordialmente, Alex
Risposte
A spanne:
La moglie diventa una iena se il barcaiolo ritarda più di 10 minuti.
Lui impiega 1 ora per approdare, dal centro del lago, se va dritto a riva.
Come fa il barcaiolo a sfuggire al demonio e alla iena ?
Lui impiega 1 ora per approdare, dal centro del lago, se va dritto a riva.
Come fa il barcaiolo a sfuggire al demonio e alla iena ?
Cordialmente, Alex
... della barchetta che si trova esattamente al centro di un ameno lago ...
Dal centro parte il barcaiolo e da lì si prendono le misure.
... nell'ipotesi che il demone segua sempre la barca come una "calamita" ...
Non mettiamolo in discussione: il suo obiettivo è acchiappare il barcaiolo.
Per semplicità supponiamo che il demone giri sempre in senso antiorario a massima velocità.
Anche la barca gira sempre in senso antiorario e non oltrepassa mai il prolungamento della congiungente tra il demone e il centro del lago: non conviene far invertire al demone il senso di rotazione.
Per semplicità l'unità di misura delle distanze sia il raggio del lago, la velocità della barca sia 1 (un raggio all'ora) e quella del demone sia 4.
Drazen77:
non conviene passare prima per A per poi andare a B, si perde tempo e si accorcia la distanza. Non conviene neppure andare dritti a B perché così il demone si avvicina e dopo bisogna girare troppo per ritornare in opposizione. Prova a fare due calcoli con B a 0.2 e a 0.22 dal centro: credo che il percorso sia troppo lungo.
Alex:
la spirale è OK in linea di principio ma complica i calcoli, almeno per le mie attuali capacità

Per tutti:
è indiscutibile che l'ultimo tratto debba essere rettilineo, radiale, lungo 3/4, percorso in 45 minuti.
Resta da stabilire come convenga muoversi dentro al cerchio di raggio 1/4 per impiegare meno di 25 minuti, senza farsi prendere da demonio.
"veciorik":
la spirale è OK in linea di principio ma complica i calcoli, almeno per le mie attuali capacità
Perché, a me no ?


Cordialmente, Alex
Alex,
suggerivo di non scavalcare la linea che congiunge il demone al centro, perché non conviene: ideale è tenere la barca sempre allineata col centro e il demone, ma non trovo la formula della "spirale", anzi credo che la traiettoria giusta non sia propriamente una spirale.
Drazen77,
la lunghezza del tratto finale, rettilineo e radiale, è compresa tra 3/4 e (1 - $\pi$/4). Suggerivo 3/4 per semplificare i calcoli e per indirizzarti verso la mia soluzione.
A tutti,
nella mia soluzione la barca arriva 0.14 unità prima del demone e allunga del 14% rispetto alla direttissima, un ritardo contenuto che risparmia le ire della "iena". Variando alcuni parametri posso diminuire il margine sul demone e il ritardo.
suggerivo di non scavalcare la linea che congiunge il demone al centro, perché non conviene: ideale è tenere la barca sempre allineata col centro e il demone, ma non trovo la formula della "spirale", anzi credo che la traiettoria giusta non sia propriamente una spirale.
Drazen77,
la lunghezza del tratto finale, rettilineo e radiale, è compresa tra 3/4 e (1 - $\pi$/4). Suggerivo 3/4 per semplificare i calcoli e per indirizzarti verso la mia soluzione.
A tutti,
nella mia soluzione la barca arriva 0.14 unità prima del demone e allunga del 14% rispetto alla direttissima, un ritardo contenuto che risparmia le ire della "iena". Variando alcuni parametri posso diminuire il margine sul demone e il ritardo.
"veciorik":
... ideale è tenere la barca sempre allineata col centro e il demone, ...
Ovvero l'obiettivo del barcaiolo è quello di avere sempre un angolo di 180° tra sé e il demone (perché se riesce a giungere a $r/4$ con quest'angolo è sicuro di farcela a raggiungere la riva).
Se questo è l'obiettivo della barca, non è certamente quello del demone quindi non si può supporre, anzi imporre, al demone di girare sempre nello stesso senso se non gli è conveniente.
Da ciò ne discende che è la barca che segue le mosse del demone e non viceversa; se la barca seguisse una rotta tutta sua indifferente dal movimento del demone, rischierebbe di trovarsi a $r/4$ con un angolo minore di 180° (anzi sarebbe certo) e non avrebbe la certezza di raggiungere la riva per prima.
D'altronde la barca è in grado di mantenere quell'angolo, in quanto finché naviga all'interno di $r/4$ può andare più veloce del demone.
Perché la spirale?
Provo a dettagliare meglio.
Premessa: l'obiettivo della barca è di mantenere sempre un angolo di 180° tra sè e il demone e contemporaneamente raggiungere la distanza di $r/4$ dal centro.
- la barca viaggia sempre alla velocità massima (in modulo)
- la barca parte in direzione opposta a dove si trova il demone in quel momento
- nello stesso momento il demone parte a circumnavigare il laghetto in un verso (quale sia è indifferente)
- immediatamente la barca vira nello stesso senso
- e continuerà a virare nello stesso senso del demone: se questi invertirà il senso, lo farà anch'essa
- la barca viaggerà ad una velocità angolare sempre correlata a quella del demone, in modo da mantenere sempre un angolo di 180° (né più né meno)
- man mano che la barca si allontana dal centro la componente tangenziale della velocità aumenterà (affinché riesca a tener lontano il demone) e dato che la velocità è costante, la velocità radiale diminuirà (senza mai arrivare a zero dato che la barca può permettersi di partire verso la riva quel 3% prima di $r/4$)
- la composizione di questi due moti è sicuramente una spirale che diventa sempre più "circolare", di cui non so determinare l'espressione analitica ma sicuramente è una spirale.

Cordialmente, Alex
D'accordo su tutto eccetto la traiettoria a spirale.
Lo credevo anch'io, e l'avevo anche scritto, ma poi ho avuto una felice intuizione che spiegherò sotto spoiler.
Non posso imporre al demone di girare sempre antiorario però, se lui cambia verso e la barca lo imita immediatamente, nessuno ci guadagna: si complica solo la forma della traiettoria che va a zig-zag.
Questo vale finché l'angolo demone-centro-barca è 180° ma, se la barca si fissa a 179°, il demone perde terreno se cambia verso.
Ho rifatto i calcoli con l'angolo tenuto fisso a 179° ottenendo un anticipo sul demone di 0.12 e un ritardo di 0.14: questi sono i valori massimi quando la retta finale è lunga 0.75, ferma restando la traiettoria.
Ecco la mia soluzione, a parole:
Per curiosità ho calcolato l'anticipo e il ritardo in funzione dell'angolo percorso prima della svolta finale diritta verso riva.
Ecco un esempio: il demone gira per 75° prima che la barca svolti: la barca anticipa il demone di 0.09 e ritarda di 0.09 (5.4 minuti) rispetto alla direttissima. Ecco il disegno:
Lo credevo anch'io, e l'avevo anche scritto, ma poi ho avuto una felice intuizione che spiegherò sotto spoiler.
Non posso imporre al demone di girare sempre antiorario però, se lui cambia verso e la barca lo imita immediatamente, nessuno ci guadagna: si complica solo la forma della traiettoria che va a zig-zag.
Questo vale finché l'angolo demone-centro-barca è 180° ma, se la barca si fissa a 179°, il demone perde terreno se cambia verso.
Ho rifatto i calcoli con l'angolo tenuto fisso a 179° ottenendo un anticipo sul demone di 0.12 e un ritardo di 0.14: questi sono i valori massimi quando la retta finale è lunga 0.75, ferma restando la traiettoria.
Ecco la mia soluzione, a parole:
Per curiosità ho calcolato l'anticipo e il ritardo in funzione dell'angolo percorso prima della svolta finale diritta verso riva.
Ecco un esempio: il demone gira per 75° prima che la barca svolti: la barca anticipa il demone di 0.09 e ritarda di 0.09 (5.4 minuti) rispetto alla direttissima. Ecco il disegno:
@veciorik
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Non so se sono riuscito ad interpretare correttamente la tua spiegazione quindi prendi le mie considerazioni con beneficio di inventario ...
Adesso ho capito benissimo, purtroppo c'è un problema di fondo ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Mai pensato che il demone fosse stupido: lui tenta di diminuire l'angolo ma la barca si adopera per mantenerlo tra 179° e 181° e ci riesce nella zona centrale dove può sfruttare una maggiore velocità angolare: qui ogni tentativo del demone di ridurre l'angolo fallisce se la barca reagisce bene cambiando verso conformemente al demone.
Attenzione: cambiare verso non significa retrocedere sul tragitto già percorso bensì seguire l'immagine riflessa della traiettoria ideale rispetto all'asse demone-centrolago che fa da specchio.
Se il demone si ferma, la barca ne approfitta per fare un tratto radiale verso riva, guadagnando distanza.
Ma queste manovre a zig-zag sono sterili complicazioni rispetto alla scelta della traiettoria ideale.
Ho trovato la dimostrazione analitica che la mia traiettoria è quella ideale. Uso i simboli:
Attenzione: cambiare verso non significa retrocedere sul tragitto già percorso bensì seguire l'immagine riflessa della traiettoria ideale rispetto all'asse demone-centrolago che fa da specchio.
Se il demone si ferma, la barca ne approfitta per fare un tratto radiale verso riva, guadagnando distanza.
Ma queste manovre a zig-zag sono sterili complicazioni rispetto alla scelta della traiettoria ideale.
Ho trovato la dimostrazione analitica che la mia traiettoria è quella ideale. Uso i simboli:
- $v_r \quad $ velocità radiale
$v_t \quad $ velocità tangenziale
$v=1 \quad $ velocità scalare massima della barca, che assumo costante
$t \quad $ variabile tempo
$\theta \quad $ variabile angolo
$\omega = (d\theta)/(dt) = 4 \quad $ velocità angolare massima, che assumo costante
$r(\theta) \quad $ funzione incognita: traiettoria ideale espressa in coordinate polari[/list:u:151t607h]
Eh, no, non ci siamo ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"axpgn":
La tua strategia non è valida sempre ma solo se si verificano certe condizioni ... [nota]la mia "strategia" è valida in condizioni IMHO "normali" ( velocità costanti in verso e in modulo ) e non è sostanzialmente diversa dalla tua, ma forse non l'ho spiegata bene.[/nota]
La strategia giusta c'è: la barca deve sempre tenere il demone a $180°$ fino a $r/4$ e poi via dritta. [nota]OK; ho aggiunto una tolleranza $179°-180°$ [ laurea in fisica nel 1979 ] soltanto per non "imbarcarmi" nelle complicazioni indotte da eventuali variazioni arbitrarie della velocità (vettoriale) da parte del demone. Può andare dritta a riva anche poco prima di $ \ r/4 \ $, purché dopo $ \ (1 - \pi /4) r \ $, per accorciare i tempi.[/nota]
... la traiettoria è una spirale [nota]OK, ma solo se comprendi anche le spirali sinusoidali tra cui, in particolare, la "mia" semicirconferenza di equazione polare $ \quad r=sin(\theta)/4 \quad , \quad 0 \le \theta \le \pi/2 \quad $[/nota] se il demone gira sempre nello stesso verso; se cambiasse spesso verso, la traiettoria della barca non sarebbe più "formalmente" una spirale però sarebbe una curva del tutto equivalente perché formata da "archi di spirale" (della vera spirale) con "versi alternati". [nota]OK; per pignoleria aggiungerei la pausa del demone a cui la barca risponde con un tratto radiale, più efficace della pausa per evitare le ire della iena. Perché non ti convince ? L'angolo resta a 180° !
Nel caso estremo in cui il demone rallentasse la velocità, la barca dovrebbe adeguare la sua velocità a 1/4 oppure, più efficacemente, aumentare il proprio raggio di curvatura della sua "spirale".[/nota]
Aspetta che ricapitolo ...
- quando parlo di "tua strategia" mi riferisco solo a quella col semicerchio con $r=1/8$ e poi via; quella "non è buona" perché c'è la contromisura. Se mi dici "ma se il demone sta fermo, allora faccio in un altro modo", mi sembra evidente che non è più quella strategia lì ma un'altra, no?
- l'alternativa "vado a zizgag ovvero se il demone cambia verso, lo faccio anch'io" oppure "se sta fermo vado dritto", di fatto è una conferma (un pelino più complicata) della mia tesi: bisogna tenere il demone sempre in opposizione (fino a $r/4$ e poi via). Questa è la scelta giusta, questa è l'essenza della strategia giusta (al di là della spirale)
- Quando parlo di $180$, di $r/4$, ecc. lo faccio per semplicità: lo so che la barca potrebbe partire prima (grossomodo a $22%r$) oppure lasciare il demone a qualche grado in meno di $180°$ ... non avevo voglia di fare calcoli precisi (soprattutto come i tuoi
)
- Ho usato la parola "spirale" principalmente per la forma assunta dalla traiettoria però credo che anche "tecnicamente"
si possa definire "spirale" perché ne esistono di diversi tipi ma non saprei proprio dirti quale ...
Cordialmente, Alex

- quando parlo di "tua strategia" mi riferisco solo a quella col semicerchio con $r=1/8$ e poi via; quella "non è buona" perché c'è la contromisura. Se mi dici "ma se il demone sta fermo, allora faccio in un altro modo", mi sembra evidente che non è più quella strategia lì ma un'altra, no?

- l'alternativa "vado a zizgag ovvero se il demone cambia verso, lo faccio anch'io" oppure "se sta fermo vado dritto", di fatto è una conferma (un pelino più complicata) della mia tesi: bisogna tenere il demone sempre in opposizione (fino a $r/4$ e poi via). Questa è la scelta giusta, questa è l'essenza della strategia giusta (al di là della spirale)
- Quando parlo di $180$, di $r/4$, ecc. lo faccio per semplicità: lo so che la barca potrebbe partire prima (grossomodo a $22%r$) oppure lasciare il demone a qualche grado in meno di $180°$ ... non avevo voglia di fare calcoli precisi (soprattutto come i tuoi

- Ho usato la parola "spirale" principalmente per la forma assunta dalla traiettoria però credo che anche "tecnicamente"


Cordialmente, Alex
Le soluzioni proposte sono ineccepibili: quella di drazen77 ha il vantaggio della semplicità, l'altra ha quello della rapidità di attracco, ma mi pare di difficile esecuzione quando il demone cambi diverse volte il verso di rotazione. Entrambe hanno come limite un rapporto fra le velocità massime inferiore a $ pi+1 $. Esistono altre strategie in grado di superare questo limite, ad esempio con il demone dopato che corre ad una velocità massima uguale a $ 4.4 $ volte quella della barca.
Ciao
Ciao
Visto che non vi sono più interventi lascio delle indicazioni sulle due tecniche che permettono di superare il rapporto $ \pi + 1 $
Ciao
Ciao