Il giardino di Tadfield

[milizia96]

Tratto da una gara a squadre del 2008:

Il giardino pubblico di Tadfield è limitato da due vialetti che si allontanano dall'ingresso formando
tra loro un angolo di 60°. All'interno del giardino ci sono 3 stagni circolari, uno dei quali è tangente
agli altri due; ciascun vialetto passa tangenzialmente ad ogni stagno. Il primo stagno occupa
un'area di $85 m^2$.
Qual è l'area occupata dai tre stagni?

[cenzo1]

Ci provo:

Sfruttando il fatto che in un triangolo rettangolo con angolo di $30°$ l'ipotenusa è doppia del cateto minore, sono arrivato alla conclusione che l'area complessiva dei tre stagni dovrebbe essere:
$85*(1+9+81) m^2$

[milizia96]

Esattamente!

[cenzo1]

Propongo due variazioni del problema originario:

1) Calcolare l'area occupata dai tre stagni nel caso i due vialetti formano tra loro un angolo generico $theta$.

2) Il giardino ha la forma di un triangolo equilatero e tra lo stagno più lontano e l'ingresso c'è una grandissima moltitudine di altri stagni rispettanti le condizioni imposte dal problema originario. Calcolare la percentuale del giardino occupata da stagni.

[milizia96]

La risposta al primo dovrebbe essere:

$A=A_{1}*[1+({1+sen(theta/2)}/{1-sen(theta/2)})^2+({1+sen(theta/2)}/{1-sen(theta/2)})^4]$
Dove $A$ è l'area occupata dai tre stagni mentre $A_1$ è l'area occupata dallo stagno più piccolo.

[xXStephXx]

Ho un dubbio sul testo, potete disegnare uno schizzo della figura?

[milizia96]

Eccolo:

[xXStephXx]

Grazie, più tardi ci provo xD

[milizia96]

2) Ci provo:

Rapporto stagni / giardino = $(sqrt(3)*pi)/8$, vale a dire circa il 68 percento.

Ma non ci metto la mano sul fuoco.

[cenzo1]

[xXStephXx]

Ok fatti i primi due (originale + 1) di cenzo) e mi trovo in accordo con i vostri risultati. Stasera provo l'ultimo punto.