Il giardino di Lady Belinda

[axpgn]

Lady Belinda è un'appassionata giardiniera e vorrebbe trasformare un suo giardino rettangolare in un roseto anch'esso rettangolare ma di area pari a metà del giardino e "concentrico" ad esso.
L'altra metà sarà occupata da un percorso attorno al roseto a mo' di "cornice" e di larghezza costante.
Entusiasta com'è vuole iniziare subito a "disegnare" il roseto ma non conosce le dimensioni del giardino e a sua disposizione ha solamente un filo un po' più lungo del giardino (oltre a del gesso per "marcare"); inoltre una siepe alta e spessa circonda il giardino permettendo perciò solo misurazioni all'interno di esso.
Come farà la nostra Lady a determinare la "misura" della larghezza della striscia che contornerà il roseto?


Cordialmente, Alex

[dan952]

Ci provo...

Chiamiamo $a$ e $b$ i lati del giardino, con $b>a$, inoltre la larghezza della cornice deve essere $1/4(a+b-\sqrt{a^2+b^2}$, che si trova risolvendo l'equazione $ab-4m^2-2(a-2m)m-2(b-2m)m=ab/2$ in $m$. (salvo errori).
Step 1: "misurare" $a/4$ e $b/4$.
Siccome il filo è più lungo di $b$ (e quindi di $a$) lo estendo tutto su $b$ e rimarrà fuori un pezzetto, che tengo con la mano e unisco l'altra estremità con il punto in cui sto tenendo il pezzetto (a spiegare faccio schifo, lo so), dunque la distanza tra il punto di piegatura e il punto di unione è $b/2$, analogamente procedo per misurare la metà dell'altro lato. Il procedimento va iterato per i lati $a/2$ e $b/2$ in modo da ottenere $a/4$ e $b/4$
Step 2 "Misurare" $1/4(a+b)$.
Basta unire sui lati del rettangolo partendo dai vertici le due misure prese nel primo step.
Step 3 "Misurare" $1/4\sqrt{a^2+b^2}$.
Basta costruire un triangolo rettangolo in uno dei vertici con cateti $a/4$ e $b/4$.
Step finale Larghezza cornice.
Nel secondo Step avevamo segnato su ogni lato due lunghezze di misura $1/4(a+b)$, basta levare la lunghezza trovata nel terzo Step per avere la larghezza desiderata (spero)

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Ci ho messo un po' a confrontare la tua soluzione con la mia ma ... va bene, è ok

L'unica cosa diversa che avrai fatto nel tuo percorso sarebbe ...

... stata quella di partire da $(ab)/2=2al+2bl-4l^2$ dove $l$ è la larghezza della striscia.

Aspetto ancora un po' poi posterò la mia ...

Cordialmente, Alex

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La mia versione ...

Denominiamo i vertici del giardino con $ABCD$ e misuriamo col filo il lato lungo $AB$, poi lo pieghiamo a metà per due volte in modo da ottenere la misura di $1/4AB$. Su $AB$ segniamo il punto $E$ tale che sia $AE=1/4AB$.
Analogamente ripetiamo la stessa procedura sul lato corto $AD$ e segniamo il punto $F$ su $AD$ in modo tale che sia $AF=1/4AD$.
Sul segmento $EB$ segniamo il punto $G$ in modo che sia $EG=AF$ e poi su $AG$ marchiamo il punto $H$ in modo che sia $GH=EF$.
Il segmento $AH$ è la misura cercata.

Cordialmente, Alex