Il filo del bucato

[axpgn]

Johnny tende un filo per il bucato dalla cima di un palo alla base di un altro; poi ne tende un altro dalla cima del secondo alla base del primo.
Così fatto chiede al padre: "Se un palo è alto $7$ piedi e l'altro $5$, a che altezza da terra si incroceranno i due fili ?"

Cordialmente, Alex

[nino_12]

$35/12$ piedi

Ciao Nino

[dan952]

chiamiamo $a$ la distanza tra i due pali e $c$, $d$ le rispettive proiezioni a terra del tratto di filo che va dalla base di un palo al punto di intersezione a quota $x$
$x:c=7:a$ e $x:d=5:a$ per similitudine, dunque $ax/7+ax/5=a \rightarrow x=35/12$

[marco9551]

Chiamiamo A,C rispettivamente la cima e il piede del palo di $ 5 $ piedi e B,D rispettivamente la cima e il piede del palo di $ 7 $ piedi. Chiamiamo O il punto di intersezione dei due fili e H il piede dell'altezza di O da terra(e che appartiene a CD).

Consideriamo i triangoli $ mathbb(ACO) $ e $ mathbb(BOD) $. Essi sono simili per il primo criterio di similitudine in quanto hanno
$ ACB/_=CBD/_ $ (angoli alterni interni rispetto alle parallele AC e BD e alla trasversale BC)
$ CAD/_=BDA/_ $ (angoli alterni interni rispetto alle parallele AC e BD e alla trasversale AD)
$ AOC/_=BOD/_ $ (angoli opposti al vertice)

Da ciò segue che

$ ((A.BOD) / (A.ACO)) =((BD)/(AC))^2=((7)/(5))^2=49/25 $

Consideriamo i triangoli rettangoli ACD e BCD. Possiamo osservare che per costruzione avremo che:
$ A.ACO=A.ACD-A.COD$ e
$ A.BOD=A.BCD-A.COD $

riscrivendo le aree al secondo membro in funzione dei lati avremo:
$ A.ACO=(5*CD)/(2) -(CD*OH)/2 $
$ A.BOD=(7*CD)/2-(CD*OH)/2 $

Effettuando la divisione membro a membro tra la seconda e la prima
$ (A.BOD)/(A.ACO)= ((7*CD)/2-(CD*OH)/2)/((5*CD)/(2) -(CD*OH)/2) $
$ (49)/25= ((7*CD)-(CD*OH))/((5*CD) -(CD*OH)) $

Semplificando CD
$ (49)/25= ((7-OH))/((5 -OH)) $
$ (49)/25 (5-OH)= (7-OH) $
$ (49)/5 -49/25OH= 7-OH $
$ 24/25OH=14/5 $
$ OH=35/12~ 3 $

[axpgn]

Bene! Bravi!

Dall'ermetismo al romanzo d'appendice ...

La forma di soluzione che trovo più "carina" è questa ...

Chiamando $a$ e $b$ le altezze dei pali abbiamo che la nostra altezza incognita sarà $h=(ab)/(a+b)$

Comunque gli inglesi avrebbero scritto che l'altezza è pari a $\ \ 2'\ 11''$

Cordialmente, Alex

[Black Magic]

Uff, ci vorrebbe un disegno. Ad ogni modo chiamo M il punto di incontro delle corde. Se indichiamo con A il vertice del palo basso e con B il suo punto alla base, indicando analogamente D il vertice dell'altro palo e C il suo piede, abbiamo due triangoli simili in quanto gli angoli $\hat{CDM} = \hat{MBA}$ e inoltre si hanno le seguenti uguaglianze tra angoli:

$\hat{DMC}=\hat{AMB}$
$\hat{DCM}=\hat{MAB}$

Allora, essendo simili, posso imporre che il rapporto tra due lati dei due triangoli proporzionale, in particolare:

$\overline{CD}=k*\overline{AB}$
$k= \frac{7}{5}$

Cosìcché, indicando con $h$ l'altezza cercata, si deve avere per l'uguaglianza tra coseni di uguali angoli:

$k*h-7+h=0$

il cui risultato è $h=\frac{35}{12}$

[axpgn]

Ok! (anche se non ho capito l'ultimo passaggio)