Il corriere a cavallo

[axpgn]

Un esercito lungo $50$ km è in marcia; mentre avanza a velocità costante, un corriere a cavallo parte dalle retrovie (dall'ultima fila), raggiunge il fronte dell'armata per consegnare un messaggio e poi torna di nuovo in coda alla colonna giungendovi nel momento esatto in cui l'esercito completa un'avanzata di cinquanta chilometri.
Qual è il percorso totale del corriere?
Si suppone, naturalmente, che il corriere viaggi a velocità costante e che il tempo di consegna del messaggio sia irrilevante.

Una variante del problema è questa: un esercito in formazione quadrata, lungo cinquanta chilometri e largo altrettanto, marcia per cinquanta chilometri a velocita costante mentre il corriere parte a metà dell'ultima linea, percorre un giro completo attorno all'esercito e ritorna al punto di partenza.
La velocità del corriere è costante ed egli completa il suo giro nel momento in cui l'esercito porta a termine l'avanzata.
Qual è il percorso totale del corriere?


Cordialmente, Alex

[Bokonon]

E' molto carino e la versione che trovai mooooolto tempo fa aveva un cagnolino al posto del cavaliere e una banda al posto dell'esercito.

[Drazen77]

Non sono sicuro del secondo problema: dato che le armate avanzano, nelle parti "orizzontali" in realtà si muove in obliquo...

[Brancaleone1]

Mmh non so se il ragionamento che ho pensato è corretto...
Il primo risultato credo sia $100 text( km)$, il secondo $25\sqrt(17)+100 \approx 203.08 text( km)$.

[gio73]

$50(1+sqrt2)$

[axpgn]

@gio73
Bene la prima!

Come ci sei arrivata?


Cordialmente, Alex

[axpgn]

Nessuno per il secondo?

[gio73]

"axpgn":@gio73
Bene la prima!

Come ci sei arrivata?


Cordialmente, Alex

Con una proporzione

$(50+x):x=x:(50-x)$

[axpgn]

Interessante ma me la spiegheresti meglio (cioè più in dettaglio) ?

Cordialmente, Alex

[axpgn]

@gio73
Scusami ma quella proporzione non porta al risultato che hai scritto ...
Non torna ...

[gio73]

La prima risposta l ho ottenuta scrivendo un po di equazioni dove a essere uguale era il tempo impiegato {tempo andata cavallo} 50+x/velocità cavallo e x/velocità esercito, {tempo ritorno cavallo} 50-x/velocità esercito=x/velocità cavallo... Poi ho pensato che l esercito faceva 50km nel tempo totale
Le ho shakerate un po
La mattina che ho scritto avevo pensato alla proporzione

[axpgn]

Ecco le mie soluzioni ...

1) Chiamo $u$ la durata dell'avanzata dell'esercito e la utilizzo come unità di misura quindi i soldati marciano alla velocità di $50\ (km)/u$ mentre la velocità del corriere sarà $x\ (km)/u$.
La velocità relativa del corriere all'andata rispetto all'esercito sarà $x-50$ mentre al ritorno sarà $x+50$.
Ne consegue che il tempo impiegato dal corriere a percorrere l'andata sarà $50/(x-50)$ e quello del ritorno sarà $50/(x+50)$.
La loro somma deve dare $1$ quindi avremo l'equazione $50/(x-50)+50/(x+50)=1$ che dà come risultato $x=50(1+sqrt(2))$
In effetti $x$ è la velocità del corriere ma dato che la durata è $1$, la distanza percorsa è $50(1+sqrt(2))$


2) Come sopra però in questo caso dobbiamo sommare anche i percorsi trasversali.
Le velocità relative "verticali" (ossia andata e ritorno) sono le stesse di prima mentre quella "orizzontale" sarà $50/sqrt(x^2-50^2)$, perciò l'equazione da risolvere è $50/(x-50)+2*50/sqrt(x^2-50^2)+50/(x+50)=1$ che dà come risultato $209.06$

Cordialmente, Alex