Il Club del Numero Segreto

[axpgn]

Al suo primo giorno di college Danny, uno studente di matematica, ha trovato nella sua "cassetta postale" una curiosa letterina:

"Faccio parte del Club del Numero Segreto.
Ciascuno di noi ha uno speciale numero intero [whole number] tra il $6$ e il $9$ e prima di scrivere un qualsiasi numero, noi vi aggiungiamo sempre il nostro numero speciale.
Ci sono $10$ membri nel Club, di cui $6$ hanno un numero minore del mio ed invece $5$ hanno un numero maggiore del mio.
La somma di tutti i nostri numeri speciali fa $27$.
Se riesci a dirmi qual è il mio numero speciale e quelli degli altri membri, puoi unirti al Club.
Tuo, Pete Goren."

Danny è convinto che ci sia un errore ma si sbaglia. Potete aiutarlo?


Cordialmente, Alex

[mgrau]

Se Pete scrive tutti i numeri dopo averci sommato il suo, vuol dire che, se chiamiamo $x$ il suo numero, i membri sono $10-x$, di cui $6-x$ hanno un numero minore di $x$ e $5-x$ maggiore, allora $10-x = 6-x + 5 - x+1$, per cui Il numero di Pete è 2
Però allora i numeri dovrebbero essere compresi fra 4 e 7, e questo non torna con il 2, e nemmeno con la somma $27-2$ formata da 8 numeri maggiori o uguali a 4
Boh

[mgrau]

Forse ho capito il trucco. Ci sono anche $y$ soci che hanno lo stesso numero di Pete, che quindi non è 2 ma $2+y$. Quindi, mi pare: Pete ha il 4, e i numeri sono 3,3,4,4,4,5

[axpgn]

Perfetto!


Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Denotiamo con \(x\) il numero di Pete.
Abbiamo che tutti i membri possiedono un numero intero compreso tra \(6-x \) e \(9-x \), compresi, ma poiché ci sono dei membri che hanno un numero minore di Pete e dei numeri che hanno dei numeri maggiori di quello di Pete allora \(x= 7-x \) oppure \(x= 8-x \), da cui deduciamo che \(x=4 \) siccome \(x\) è intero. Poi calcoliamo facilmente che ci sono \(6\) membri di cui \(2\) hanno un numero minore di Pete e uno soltanto ha un numero maggiore di Pete, ovvero il \(5\). Deduciamo che le altre tre persone (Pete compreso) possiedono il 4. Ora per capire gli altri due numeri abbiamo che \(23 = 4+4+4+5 + y+z \) da cui \(23 = 17+y+z \), con \(2 \leq y,z < 4\) da cui deduciamo che \( y=z=3 \).

[axpgn]

Ok!


Cordialmente, Alex