I soldati di Giulio Cesare

[matteofiorillo117]

Terminata la battaglia, Giulio Cesare decide di contare i superstiti della Decima Legione, la sua preferita. Con un rapido sguardo capisce subito
che sono sicuramente meno di 1000. Per conoscerne il numero esatto ordina loro di mettersi in fila per 7, ma trova che, una volta formate tutte
le file complete, resta una fila parziale di 5 soldati. Se invece prova a metterli in fila per 11 gliene restano spaiati 8. Se infine prova a metterli in
fila per 13, quelli che restano spaiati sono 7.
Quanti sono i soldati?

La risposta

943

L'ho già risolto, ma il procedimento mi sembra troppo lungo.

[kobeilprofeta]

è un sistema di congruenze... 7, 11 e 13 sono primi, quindi è ok...

[Black Magic]

Il numero in questione è $x<1000$, per ipotesi.

Deve essere, per il fatto che $R_7=5$, della forma:
$5+7x$,
quest'ultimo deve avere resto $R_11=8$ e si vede facilmente che per $x=2$ si ha il numero cercato.

Dunque siamo giunti ad un'espressione della forma: $19+77x$, con $x$ nuovamente da determinare in modo che il resto della divisione di $77x$ per 13 sia 1.


Aumentando x di uno per volta, la divisione ha un resto che diminuisce della stessa quantità, dunque:$x=12$ e il numero cercato è:

$19+77*12= 943$