I due treni

[axpgn]

Due treni partono nello stesso istante, uno da Milano per Roma e l'altro da Roma a Milano.
Se arrivano a destinazione, rispettivamente, un'ora dopo e quattro ore dopo il momento in cui si sono incrociati, qual è il rapporto tra le loro velocità?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

\( \sqrt4=2 \)

Ciao

[kobeilprofeta]

Riferimento da milano a roma. Distanza milano-roma unitaria.
$x_1(0)=0$,$x_2(0)=1$
${(x_1(t)=v_1*t),(x_2(t)=1+v_2(t)):}$
$x_1(t_0)=x_2(t_0) => v_1*t_0=1+v_2*t_0 => t_0=frac{1}{v_1-v_2}$
${(t_1=t_0+h),(t_2=t_0+4h):}$
$v_1*t_1=v_2*t_2 => frac{v_1}{v_2}=frac{t_2}{t_1}=$
$=frac{1+4h(v_1-v_2)}{v_1-v_2}*frac{v_1-v_2}{1+h(v_1-v_2)}=frac{1+4hv_1-4hv_2}{1+hv_1-hv_2}$

[Black Magic]

Siano:

$x_1 = v_1t$
$x_2=v_2t$


le equazioni del moto dei due treni. Se $t_m$ è il tempo in cui i treni si incontrano, si deve avere:

$v_1t_m=d-v_2t_m$ (1)

dove $d$ è la misura dell'intero percorso da Milano a Roma.

Inoltre, si deve avere:

$v_1(t_m + h) = d$ (2)
$v_2(t_m +4h) =d$ (3)

Combinando queste due equazioni con la prima si ricava che:

$ frac{v_1}{v_2} = frac{t_m + 4h}{t_m +h}$,

$t_m = frac{v_1}{v_2}*h$

La prima relazione si ottiene combinando le ultime due equazioni, mentre la seconda combinando l'equazione (1) con la (2).
Combinando queste due relazioni ottenute, si ottiene un'equazione quadratica in $frac{v_1}{v_2}$ che risolta dà, come unica soluzione positiva, $frac{v_1}{v_2} = 2$.

Nota

(a rigore, questo deve essere considerato il rapporto tra i moduli delle velocità. Ma se ci attenessimo ad una sola componente immaginando il moto rettilineo, il rapporto tra le componenti dovrebbe essere $-2$, no?)

[axpgn]

@orsoulx

Sintetico

@kobe

Sinceramente mi sono un po' perso ... cmq la soluzione è numerica e unica ...

@Black Magic

Ok!

Per la nota: esagerato

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

"axpgn":Sintetico

??? Essenziale, ma comprensivo dei calcoli necessari ed indicante, implicitamente, la generalizzazione a qualunque coppia di tempi di percorrenza.

I tratti percorsi prima dell'incrocio sono proporzionali alle rispettive velocità. Dall'incrocio all'arrivo ciascun treno dovrà percorrere il tratto che ha già percorso l'altro, dunque lunghezze inversamente proporzionali alle velocità, cioè rapporto fra i tempi uguale al quadrato del rapporto fra le velocità.

Ciao

[axpgn]

@orsoulx
[ot]

"orsoulx":??? Essenziale, ma comprensivo dei calcoli necessari ed indicante, implicitamente, la generalizzazione a qualunque coppia di tempi di percorrenza.

Premesso che era una battuta (pensavo che la "faccina" bastasse ... ), mi pare difficile generalizzare da quell'espressione: il $4$ è il prodotto o il quoziente?
E sempre rimanendo poco serio (io, sia chiaro), sul mio Zanichelli c'è scritto: "Sintetico: ridotto all'essenziale"; ci sono andato vicino ... [/ot]
Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@axpgn:

perdonami: l'avevo scambiato per un problema di fisica.
Ciao