I conti non tornano

[Drazen77]

Ho 50€.

Se ne spendo 20, mi rimane un saldo di 30€.
Se di questi 30€ ne spendo altri 15, mi rimane un saldo di 15€.
Se di questi 15€ ne spendo altri 9, mi rimane un saldo di 6€.
Se spendo questi ultimi 6€, mi rimagono 0€.

Questa è la somma dei soldi che ho speso: 20+15+9+6=50
Ovvio: avevo proprio 50€.
Ma se sommo quelli che mi erano rimasti nel saldo... 30+15+6=51.

Perché?

[axpgn]

$s_1=50-20$
$s_2=s_1-15$
$s_3=s_2-9$


$51=s_1+s_2+s_3=(50-20)+(s_1-15)+(s_2-9)=30+(50-20-15)+(s_1-15-9)=$

$=30+15+(50-20-24)=45+6=51$

Cordialmente, Alex

[Folpo13]

Supponiamo di avere una somma di denaro inziale $D$ (nel nostro caso $D=50$) e $N$ spese ognuna da ($s_1, s_2, s_3, ..., s_N$) che ci portano a $0$.

Avremo:
$D - \sum_{k=1}^N s_k = 0$

Quindi $\sum_{k=1}^N s_k=D$ che si era già visto: la somma delle spese è uguale all'ammontare di partenza.

Però se sommiamo i rimanenti:

$D-s_1 + (D-s_1-s_2) + ... + (D-s_1-s_2-...-s_N)=\sum_{i=0}^N (D - \sum_{j=0}^i s_j)$

Non otteniamo affatto $D$ bensì

$ND-Ns_1-(N-1)s_2-...-s_N=ND - \sum_{k=1}^N (N-k+1)s_k$

Nel nostro caso $D=50$, $N=4$, $s_1=20$, $s_2=15$, $s_3=9$, $s_4=6$

Se mettiamo nella formula:

$4\cdot 50-4\cdot20-3\cdot15-2\cdot9-6=200-80-45-18-6$

che fa appunto $51$.


Un esempio che il risultato non c'entra niente si può fare ragionando anche così: hai $10€$ e spendi $10$ volte $1€$. Ovviamente la somma delle spese è esattamente $10€$, quella dei soldi "rimanenti" è $9+8+7+...+1$ che fa ben $45€$!

[Drazen77]