I cinque briganti

[axpgn]

Cinque briganti spagnoli contavano il denaro appena razziato, trovando che complessivamente possedevano $200$ dobloni d'oro. Uno di loro notò questo fatto: se Alfonso avesse dodici volte le monete che aveva, Benicio il triplo, Carlos le stesse, Diego la metà ed Esteban un terzo, il totale complessivo rimarrebbe uguale, sempre $200$ dobloni.
Quanti dobloni aveva ciascuno? Una soluzione è questa: Alfonso $6$, Benicio $12$, Carlos $17$, Diego $120$ e Esteban $45$, ma non è l'unica, anzi ... quante sono, in totale, le soluzioni possibili? Ovviamente ciascuno di loro non era a mani vuote né prima né dopo e dato che parliamo di monete, solo numeri interi positivi nelle soluzioni.

Cordialmente, Alex

[kobeilprofeta]

4

[nino_12]

Carlos è solo fumo.

I dobloni totali degli altri 4 sono 183.
$A+B+D+E=183$

Ma anche:
$12A+3B+D/2+E/3=183$

Se non ho sbagliato, conto $86$ soluzioni possibili

$1$ con $A=10$

$6$ con $A=9$

$9$ con $A=1$ , $A=2$

$10$ con $A=3$ , $A=4$ , $A=5$ , $A=6$ , $A=8$

$11$ con $A=7$

Ciao Nino

[orsoulx]

Se non ho sbagliato i conti.

6627

Ciao
B.

[nino_12]

Mi sono accorto (guardando la soluzione di orsoulx ) che la mia soluzione è relativa solo al caso particolare che Carlos ha 17 dobloni...

Nino

[axpgn]

@orsoulx

Puoi dirci come sei giunto a quel risultato?


Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex:
ho l'impressione che, almeno Nino, stia ancora lavorando su questo problema; lasciagli un po' di tempo.
Ti (nel tuo messaggio c'è uno strano plurale) posso dire che non ho usato alcun supporto elettronico: dopo un paio di ripensamenti, il calcolo si è ridotto alla somma di una dozzina di prodotti.
Ciao
B.

[axpgn]

Ho pensato che potesse interessare anche gli altri ...

[nino_12]

Purtroppo, io non sono riuscito a fare meglio che sommare con excel tutti i casi possibili (somma $A+B+D+E $ da $22$ a $199$

Ovviamente, la soluzione è $6627$ e conferma il risultato di orsoulx

<22	  0
22		1
23		1
24		1
25		1
26		2
27		2
28		1
29		1
30		2
31		2
32		2
33		2
34		2
35		2
36		2
37		2
38		2
39		2
40		3
41		3
42		4
43		3
44		4
45		4
46		5
47		5
48		5
49		5
50		6
51		5
52		6
53		5
54		6
55		6
56		6
57		7
58		7
59		7
60		8
61		8
62		9
63		8
64		9
65		10
66		10
67		10
68		10
69		11
70		12
71		11
72		12
73		12
74		12
75		13
76		13
77		14
78		14
79		14
80		15
81		15
82		16
83		16
84		16
85		17
86		17
87		18
88		18
89		18
90		19
91		19
92		21
93		21
94		21
95		22
96		23
97		23
98		23
99		23
100		25
101		25
102		25
103		25
104		26
105		27
106		27
107		27
108		28
109		28
110		30
111		30
112		31
113		31
114		32
115		33
116		34
117		34
118		35
119		35
120		36
121		36
122		37
123		37
124		38
125		38
126		39
127		40
128		41
129		41
130		42
131		43
132		44
133		44
134		45
135		46
136		47
137		47
138		48
139		49
140		50
141		50
142		51
143		51
144		52
145		53
146		54
147		55
148		55
149		56
150		57
151		58
152		59
153		59
154		60
155		61
156		62
157		63
158		63
159		64
160		65
161		66
162		68
163		68
164		69
165		70
166		71
167		72
168		72
169		73
170		75
171		75
172		76
173		76
174		78
175		79
176		79
177		80
178		81
179		82
180		84
181		84
182		86
183		86
184		88
185		89
186		90
187		91
188		92
189		92
190		94
191		94
192		96
193		96
194		97
195		98
196		99
197		100
198		102
199		102
		
Somma		6627
		

Ciao Nino

[orsoulx]

@Nino:
Credo che l'uso di un foglio elettronico fosse il metodo più efficiente per ottenere il risultato. Che formula hai usato per calcolare i risultati parziali?

Indicando con $ A, B, C, D, E $, con tutte le variabili intere e positive, le monete possedute dai cinque briganti, per avere valori interi, anche dopo la ridistribuzione proposta, deve essere $ D $ pari ed $ E $ multiplo di $ 3 $; ponendo $ D=2x, E=3y $, sempre con $ x $ ed $ y $ interi e positivi, deve essere: $ A+B+C+2x+3y=12A+3B+C+x+y=200 $ che implica $ x+2y=11A+2B $ [1] e $ C=200-(A+B+2x+3y) $ [2]. Per avere soluzioni intere è ancora necessario che $ A $ ed $ x $ abbiano la medesima parità. Due equazioni e cinque incognite, per determinare quante siano le possibili soluzione, oggi sarebbe possibile servirsi delle formule per calcolare il numero di vertici del simplesso utilizzato in programmazione lineare, ma, visto che mi piace giocare con i metodi di quand'ero giovincello, ho cercato di ammucchiarle per vicinanza, analizzando gli effetti, sulle restanti, del cambiamento di una variabile.
Partendo, ad esempio, dalla soluzione proposta $ A=6, B=12, C=17, x=60, y=15 $, lasciando inalterati $ A $ e $ B $, la [1] resta vera se ad $ x $ sostituiamo $ x-2k $ e, contemporaneamente ad $ y $ sostituiamo $ y+k $; le $ k $ monete in eccesso le dovremo assegnare a $ C $ che diventerà $ C+k $. In questo modo, visto che la positività di $ x $ comporta $ k < 30 $, troviamo $ 29 $ altre soluzioni. Ma possiamo considerare anche valori negativi di $ k $, questa volta a fermarci sarà la positività di $ y $, e troviamo $ 14 $ nuove soluzioni. Complessivamente $ 44 $ soluzioni, contando anche quella iniziale. Possiamo dare una sistemata a questo risultato, partendo dalla soluzione con $ x =2 $ (il minimo possibile) $ A=6, B=12, C=46, x=2, y=44 $, si trovano $ 44 $ soluzioni diverse, dove $ 44 $ è il minimo fra i valori di $ C $ ed $ y $. Generalizzando:
Se da assegnati valori di $ A $ e $ B $ con $ A $ pari, per $ x=2 $ si ricava dalla [1] $ y=(11A-x)/2+B>0 $ e la [2] fornisce un valore di $ C $ positivo, allora per quei valori di $ A $ e $ B $ esiste un numero di soluzione uguale al minimo fra i valori di $ y $ e $ C $ trovati.

In modo analogo possiamo valutare quel che succede cambiando il valore di $ B $, lasciando inalterati $ A=6, x=2 $. Diminuendo di un'unità il valore di $ B $, $ y $ deve, per la [1], variare nel medesimo modo, mentre, per la [2], $ C $ deve aumentare di $ 4 $. Otteniamo la soluzione 'base' $ A=6, B=11, C=50, x=2, y=43 $ che, questa volta, corrisponde ad un mucchietto di $ 43 $ soluzioni.
Proseguendo fino al minimo valore $ B=1 $ troviamo $ 12 $ quantità in progressione aritmetica dall'iniziale $ 44 $ fino a $ 33 $, che sarà facile sommare.
Anche questa volta conviene partire dal basso, cioè dai valori $ A=6, B=1, x=2 $, stabilire per quale valore di $ B $ avviene il passaggio da $ C>=x $ a $ C Come ultima cosa si dovranno considerare i possibili valori di $ A $ e, per questa parte, mi è parso più semplice separare quelli dispari, che comportano $ x=1 $ iniziale, da quelli pari con $ x=2 $.
Nella tabella sono riportati i valori di $ A $, il valore 'critico' di $ B $ (vedi sotto), ricavato eguagliando i valori di $ y $ e $ C $, i due intervalli $ I1 $ e $ I2 $, corrispondenti alla progressione aritmetica di ragione $ 1 $ ed alla successiva di ragione $ -4 $, le somme relative $ Q1 $ e $ Q2 $.
A parte l'anomalo comportamento in corrispondenza di $ A=7 $ la tabella mostra, come prevedibile, notevoli regolarità.
Calcolo del $ B $ critico: con $ A $ dispari, $ B=4(10-A)-[3A/5] $; con $ A $ pari, $ B=40-9A/2-[A/10] $. I risultati in parentesi quadra devono essere arrotondati per eccesso, ma non ricordo come si ottengono le parentesi appropriate.

Ciao
B.

[axpgn]

@orsoulx
Non ho la soluzione originale ... ti devi accontentare della mia ... (volevo postarla ieri sera ma eran passate le due ... ho soprasseduto)

Dato che Alfonso era quello con "l'impatto" più pesante, son partito da lui ed ho trovato che non poteva avere più di $11$ dobloni, da cui undici casi più semplici; quindi ho ricavato $b$ e $c$ in funzione di $d$ e $e$; affinché i primi due fossero interi ho appurato che $e$ poteva essere solo un multiplo di tre mentre $d$ variava con progressione aritmetica in ragione di $4$ partendo da $2$.
A questo punto son passato ad Excel, costruendo tre tabelle simili facendo variare $d$ e $e$: nella prima c'erano i valori di $b$, nella seconda i valori di $c$ e nella terza il valore $1$ se $b$ e $c$ erano entrambi positivi, il valore zero altrimenti.
Sommando i valori nelle colonne e poi i totali ottenuti si ha il numero di modi possibili (per il caso in questione)
A dir la verità ne ho calcolati solo un paio così perché dopo averne verificato la validità (con un programmino che ho fatto), ho usato quest'ultimo per trovare direttamente il totale complessivo ...

Cordialmente, Alex