Guadagni assicurati

[orsoulx]

Spennapol il gestore della sala bingo di Volpetta, per fidelizzare i suoi pennuti, se n'è inventata un'altra. Dall'inizio di ciascun mese, ogni giorno i clienti che abbiano comprato almeno 100 cartelle hanno diritto, in una partita a loro scelta, di 'puntare' su un numero d. Dopo la d-esima estrazione il computer calcola quanti non estratti sono compresi fra il più piccolo e il più grande dei già estratti, il loro numero è il punteggio giornaliero del cliente. A fine mese il cliente che abbia totalizzato la maggiore somma dei punteggi giornalieri riceve un premio in danaro (in caso di parità la somma viene divisa fra i vincitori).
1) Quale(i) valore di d rende(ono) massima la speranza di vincita?
Viene anche proposta una scommessa, accentandola il cliente vincitore riceverà il doppio di quanto stabilito, se ha totalizzato almeno 2000 punti, nulla in caso contrario.
2) Conviene accettare la scommessa?

[Elaborazione da questo problema:
http://www.trekportal.it/coelestis/showpost.php?p=763911&postcount=1418 ]

[axpgn]

Credo che il valore su cui puntare sia $9$ (sempre che abbia interpretato correttamente il problema).
In quel caso il punteggio medio sarebbe $57.6$.
Di conseguenza la scommessa non è conveniente.
Poi, quando avrò un po' più di tempo, scriverò il ragionamento che ho fatto ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex
A me vengono valori più grandi (anche per la scelta d=9 ottengo un valore atteso più elevato del tuo).
Quanto ai dubbi sull'interpretazione: se d=9, il computer, dopo il nono estratto calcola quanti numeri non estratti sono, contemporaneamente, maggiori del minore fra gli estratti e minori del maggiore. Per il ragionamento non c'è alcuna urgenza.
Ciao
B.

[axpgn]

Per favore, puoi dirmi se il valore per $d=9$ è più alto di due/tre punti? Cioè se lo scarto è di quest'ordine? Grazie

[axpgn]

Mi ero perso un $1$ ma adesso dovrei esserci ...
I valori di $d$ più vantaggiosi dovrebbero essere il $12$ e il $13$ con un valore di $66$, perciò per la scommessa .... dipende dal mese ... ... quelli di $31$ vanno bene, gli altri no ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex

Per la scommessa, concordo sui 31-enni. Ho qualche dubbio (mio) sugli altri. Premesso che di statistica non so un tubo, come tener conto che, avendo vinto, è molto probabile che il punteggio sia più alto della media?
Ciao
B.

[axpgn]

Il mio ragionamento è stato questo ...

Poniamo di avere una striscia di $N=90$ caselle numerate da $1$ a $N$, ad ogni estrazione occupiamo la casella abbinata all'estratto.
Alla $d$-esima estrazione avremo $d$ numeri estratti di cui $d_i=d-2$ sono gli estratti compresi tra il minimo e il massimo estratto.
Inoltre per ogni estrazione avremo una striscia, che io chiamo "estensione $k$-dimensionale", che parte dal minimo valore estratto e finisce al massimo, la cui lunghezza è appunto $k$, (con $k$ che varia così ... $d<=k<=N$).
La striscia ottenuta da $k$ togliendo gli estremi, la chiamo "spazio interno" $sp$ ed è lunga $sp=k-2$.
I "posti vuoti" $p$ all'interno di $k$ (che sono il valore che ci interessa) sono "fissi" per ogni $k$ e valgono $p=sp-d_i$.
Però gli estratti interni $d_i$ si possono disporre i vari modi all'interno di $k$ e più precisamente i modi sono $m_i=((sp),(p))$.
In più anche la striscia $k$ può essere messa in diverse posizioni all'interno di $N$ e precisamente in $z=N-k+1$ posizioni (questo era l'uno che avevo dimenticato).
Ricapitolando: per ogni striscia $k$-dimensionale all'interno di ogni estrazione i "posti vuoti" totali sono $p_k=p*m_i*z$
Sommando i vari $p_k$ otteniamo i "posti vuoti" globali di ogni estrazione ($sum_(k=d)^N p_k$)
Dividendo questo valore per i modi in cui si possono disporre i $d$ estratti all'interno di $N$ (cioè $m_d=((N),(d))$) otteniamo il valore medio dei "posti vuoti" di ogni estrazione (che sarebbe il punteggio pagato dal gestore)
Si nota che il valore più alto si ottiene con $d=12$ e $d=13$, in entrambi i casi il valore medio è $66$.

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Alex
ottimo e abbondante, anche se, per la parte finale credo che ti risponderesti in un modo simile a questo:
Così non vale!!!
In effetti esiste un modo molto semplice per determinare d in funzione di un assegnato N. Ad esempio nell'olimpo, dove di tempo ne han fin troppo, giocano al terabingo con N=50000000020000000001, e teracartelle opportune. In questo caso il miglior valore da scegliere sarebbe d=10000000001.
Ciao
B.

[orsoulx]

Si dimostra rapidamente che, per ogni $ N $ la miglior scelta soddisfa l'equazione $ (d+1)^2= 2(N+1) $.
Naturalmente quando si trova un $ d $ non intero, occorre controllare i due interi fra cui è compreso.
Ciao
B.
Oops! Mi sono dimenticato di indicare che N deve essere maggiore di 2.