Grande numero o numero grande
Buonasera.
Qual è il più grande intero N le cui cifre sono tutte differenti e che è divisibile per ciascuna di esse?
Qual è il più grande intero N le cui cifre sono tutte differenti e che è divisibile per ciascuna di esse?
Risposte
ragioniamo.
non possiamo usare lo $0$ che non divide niente.
la divisibilità per $1$ è scontata, quindi probabilmente lo useremo, ma non è detto.
la divisibilità per $2$ e $5$ è incompatibile perché dipende dall' ultima cifra, e di sicuro scegliamo il $2$, perché altrimenti ci giochiamo anche $4,6,8$.
quindi niente 5.
divisibilità per $3$: somma delle cifre deve fare un multiplo di $3$, anzi meglio se fa $9$ così abbiamo anche quello e non dipende dall'ordine.
allora avremo anche quella per $6$ se ci sono 2,3.
inoltre dobbiamo preoccuparci di mettere un $8$ e un $4$ che non sono difficili, dipendono dalle ultime tre.
quindi chiuderei con un 624.
divisibilità per $7$ è un casino, vediamo dopo.
per adesso penso a queste cose.
non possiamo usare lo $0$ che non divide niente.
la divisibilità per $1$ è scontata, quindi probabilmente lo useremo, ma non è detto.
la divisibilità per $2$ e $5$ è incompatibile perché dipende dall' ultima cifra, e di sicuro scegliamo il $2$, perché altrimenti ci giochiamo anche $4,6,8$.
quindi niente 5.
divisibilità per $3$: somma delle cifre deve fare un multiplo di $3$, anzi meglio se fa $9$ così abbiamo anche quello e non dipende dall'ordine.
allora avremo anche quella per $6$ se ci sono 2,3.
inoltre dobbiamo preoccuparci di mettere un $8$ e un $4$ che non sono difficili, dipendono dalle ultime tre.
quindi chiuderei con un 624.
divisibilità per $7$ è un casino, vediamo dopo.
per adesso penso a queste cose.
@blackbishop13 Seguendo il tuo ragionamento puoi migliorare a [tex]$3648$[/tex]!
"blackbishop13":
la divisibilità per $2$ e $5$ è incompatibile
Perché?
"blackbishop13":
perché dipende dall' ultima cifra, e di sicuro scegliamo il $2$, perché altrimenti ci giochiamo anche $4,6,8$.
quindi niente 5.
Mah. 520 è divisibile per 2 e per 5, 4520 per 2 4 e 5, 84520 per 8 5 4 2...
Non ho capito che ragionamento hai fatto.
"Rggb":
Mah. 520 è divisibile per 2 e per 5, 4520 per 2 4 e 5, 84520 per 8 5 4 2...
Ma non sono divisibili per 0.
@j18eos: migliorare cosa? "chiudere con 624" vuol dire che le ultime tre cifre sono di quel tipo, non ho ancora proposto nulla.
allora adesso perfeziono il mio ragionamento.
come detto niente $0$, niente $5$.
posso usare tutte le altre 8 cifre?
no perché la somma non fa 9, quindi non sarà mai divisibile per 9.
allora dovrei: o scartare il 9, oppure scartare il 4, oppure scartare due numeri tipo 6,7 oppure 1,3.
ma volendo fare il numero maggiore possibile, vorrò usare 7 cifre invece che 6 e scarterò il $4$.
ora ho le seguenti cifre da usare: 1,2,3,6,7,8,9.
un numero con queste cifre è di sicuro divisibile per $3,9$. e anche per $1$ chiaramente.
devo preoccuparmi delle ultime tre cifre per assicurarmi la divisibilità per $8$, e avrò gratis quella per $2,6$
poi dovrò essere accorto nel posizionare il $7$ (calcolatrice alla mano) e cercare di stare attento a massimizzare.
ho fatto queste cose e sono giunto a:
sono abbastanza sicuro che sia il risultato migliore possibile.
allora adesso perfeziono il mio ragionamento.
come detto niente $0$, niente $5$.
posso usare tutte le altre 8 cifre?
no perché la somma non fa 9, quindi non sarà mai divisibile per 9.
allora dovrei: o scartare il 9, oppure scartare il 4, oppure scartare due numeri tipo 6,7 oppure 1,3.
ma volendo fare il numero maggiore possibile, vorrò usare 7 cifre invece che 6 e scarterò il $4$.
ora ho le seguenti cifre da usare: 1,2,3,6,7,8,9.
un numero con queste cifre è di sicuro divisibile per $3,9$. e anche per $1$ chiaramente.
devo preoccuparmi delle ultime tre cifre per assicurarmi la divisibilità per $8$, e avrò gratis quella per $2,6$
poi dovrò essere accorto nel posizionare il $7$ (calcolatrice alla mano) e cercare di stare attento a massimizzare.
ho fatto queste cose e sono giunto a:
sono abbastanza sicuro che sia il risultato migliore possibile.
@blackbishop13: anch'io ero arrivato a dover utilizzare solo le cifre 1,2,3,6,7,8,9
Ma mi era venuto
A questo punto penso proprio che la tua sia la soluzione corretta. Complimenti
Ma mi era venuto
A questo punto penso proprio che la tua sia la soluzione corretta. Complimenti
"Umby":
[quote="Rggb"]
Mah. 520 è divisibile per 2 e per 5, 4520 per 2 4 e 5, 84520 per 8 5 4 2...
Ma non sono divisibili per 0.[/quote]
Certo, ora capisco. La domanda era "divisibile per tutte le cifre" quindi zero non ci può essere, avevo fatto un ragionamento più grezzo e ovviamente non mi tornava il discorso.
Stando così le cose, il risultato trovato da blackbishop13 mi sembra difficile da migliorare.
Ora cerchiamone un altro, ma in esadecimale: per chi non lo sapesse le cifre sono 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F. Chi ci sta?
[ Oppure anche cercare un numero massimo in qualunque base, ovvero un metodo per trovarlo. Queste cose mi intrigano, ora mi metto a pensare ]
"Rggb":
[quote="Umby"][quote="Rggb"]
Mah. 520 è divisibile per 2 e per 5, 4520 per 2 4 e 5, 84520 per 8 5 4 2...
Ma non sono divisibili per 0.[/quote]
Certo, ora capisco. La domanda era "divisibile per tutte le cifre" quindi zero non ci può essere, avevo fatto un ragionamento più grezzo e ovviamente non mi tornava il discorso.
Stando così le cose, il risultato trovato da blackbishop13 mi sembra difficile da migliorare.
Ora cerchiamone un altro, ma in esadecimale: per chi non lo sapesse le cifre sono 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F. Chi ci sta?
[ Oppure anche cercare un numero massimo in qualunque base, ovvero un metodo per trovarlo. Queste cose mi intrigano, ora mi metto a pensare ][/quote]
o voluto provare a farli...mi sono accorto che per ogni base il numero buono bisogna trovarlo preferendo i numeri più piccoli pari a quelli più grandi sempre pari ( nel senso se la base è 16 non bisogna vedere prima i criteri di divisibilità di E ma quelli di 2, se ad esempio trovo un numero divisibile per E, ma non divisibile per 2, quello divisibile per E è più piccolo di quello per 2...non so come spiegarmi XD però mi sa che è una stronzata, perchè in base 10 il risultato dell'utente di sopra mi da torto...
per i numeri dispari devo vedere meglio, ma mi sembra che sia come per quelli pari, anche se non so se dico una stronzata o meno, però per ora sembra funzionare...
secondo me ci deve essere anche un legame per le basi del tipo se la base è pari allora è da preferire un ragionamento rispetto ad un'altro e viceversa se la base è dispari, ma qui sono quasi certo di dire una stronzata...
boh...più cerco di capire se esiste una regola generale, meno ci capisco XD
Vale l'utilizzo di un algoritmo sul computer?
"arghlal":
Vale l'utilizzo di un algoritmo sul computer?
Per trovare o verificare il risultato è sicuramente utile, ma cercavo di stimolare un po' l'ambiente per cercare un risultato generale, basato sui criteri di divisibilità (vedi il ragionamento di blackbishop13). Questi non sono banali nè tantomeno calati dall'alto, e sono di per sè interessanti.
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