Grande Numero

[axpgn]

Sia $M$ il più grande numero che è possibile ottenere combinando le cifre $1, 2, 3, 4$ usando le operazioni di addizione, moltiplicazione ed esponenziazione, se le cifre si possono usare una volta sola.
Le operazioni si possono usare ripetutamente, così come le parentesi e la giustapposizione (cifre poste una accanto all'altra).
Per esempio $12^(34)$ o $1+(2 xx 3 xx 4)$ sono opzioni possibili.

Trovare $M$ e dimostrare che è il più grande.



Cordialmente, Alex

[Folpo13]

Le cifre si possono anche riarrangiare? Cioè per esempio $4^321$ è un numero valido?

[axpgn]

Sì, sì, certo.

[Folpo13]

Se non ho sbagliato a ragionare dovrebbe essere $2^(3^(41))$

Ho sfruttato i seguenti fatti:
•$2^10=1024~~1000=10^3$
•$3^4=81~~80=2^3\cdot10$

I "candidati" sono:
A) $2^(3^41)$
B) $2^(4^31)$
C) $3^(2^41)$
D) $3^(4^21)$
E) $4^(2^31)$
F) $4^(3^21)$

Ma possiamo già escluderne qualcuno:
F < A:
$4^(3^21)=2^(2\cdot3^21)<2^(3^22)<2^(3^41)$

E < B:
$4^(2^31)=2^(2^32)<2^(2^62)=2^(4^31)$

C < D:
$3^(2^41)<3^(2^42)=3^(4^21)$

Rimangono quindi A, B e D.

È facile convincersi che D < B:
$3^(2^41)<4^(2^41)=2^(2^42)<2^(2^62)=2^(4^31)$

Inoltre si può dimostrare che B < A usando i fatti citati:
Considero gli esponenti del 2:
$4^31=2^62~~4\cdot10^18$
$3^41=3\cdot(3^4)^10~~3\cdot(2^3\cdot10)^10=3\cdot2^30\cdot10^10~~3\cdot10^19$ che è $>4\cdot10^18$

Rimane quindi solo la A che è la mia risposta

[axpgn]

Cordialmente, Alex