Gli Uni e gli altri

[axpgn]

Tra gli interi che partono da $1$ e arrivano fino a $10.000.000.000$ compresi sono di più quelli che contengono la cifra $1$ o quelli che non la contengono?

Cordialmente, Alex

[dan952]

Circa il 10 % dei numeri tra 1 e 10000000000 contengono uno come cifra, questo perché anche le altre 9 cifre compaiono con quasi la stessa frequenza.

[axpgn]

[superpippone]

Ho fatto un po' di prove. Da 1a 10 i numeri che contengono la cifra 1 sono 2. Da 1 a 100 sono 20. Da 1 a 1.000 sono 200.
Sempre il $20%$. Per cui direi che da 1 a 10.000.000.000, i numeri che contengono la cfra 1 sono sempre il 20% ossia $2.000.000.000$

[axpgn]

No, no ...

[superpippone]

In effetti ho contato male quelli da 101 a 1000........
Ne ho dimenticati parecchi! Da 1 a 1000 sono $272$

[superpippone]

Ci sono!!!!

I numeri da 1 a 10.000.000.000 che NON hanno la cifra 1 sono $8+72+648+5.832+52.488+472.392+4.251.528+38.263.752+344.373.768+3.099.363.912=3.486.784.400$ .
Quelli che ce l'hanno sono la maggioranza e precisamente $6.513.215.600$

[axpgn]

[axpgn]

Un metodo per la risoluzione è questo (simile a quanto fatto da superpippone) ...

Calcolo quanti numeri NON hanno la cifra $1$... "sposto in basso" di uno il range, aggiungo tanti zeri non significativi davanti ai numeri giusto perché siano tutti di dieci cifre, nella prima posizione nove su dieci non contengono la cifra $1$, nella seconda posizione lo stesso quindi nelle prime due posizioni $9^2$ non contengono la cifra $1$, nelle prime tre saranno $9^3$ e così via quindi con dieci cifre saranno $9^10-1=3.486.784.400$ i numeri che NON contengono la cifra $1$ e quelli che la contengono invece sono $6.513.215.600$ quindi in maggioranza.

Sarebbe carino se qualcuno riuscisse a trovare il "punto di sorpasso" ...

Cordialmente, Alex

[dan952]

Andare a occhio provoca allucinazioni...

[superpippone]

Il pareggio si verifica a $2$, a $16$, a $24$, a $160$, a $270$, a $272$, a $1.456$, ..... a $1.062.880$.

[axpgn]

Wow! Ma li hai contati tutti? ... sei sicuro che quello sia l'ultimo? Certamente se guardiamo le potenze di dieci il sorpasso definitivo avviene tra $10^6$ e $10^7$ ma nei singoli punti?

Cordialmente, Alex

[superpippone]

Fino a $1.456$ li ho contati tutti (almeno credo....), oltre diventa complicato. A parte $13.120$ e $118.096$, che sono immediati. Sono quasi certo che l'ultima parità sia proprio a $1.062.880$

[axpgn]

Ho fatto un paio di conti anch'io e quello mi pare proprio l'ultimo ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Per curiosità tutti i punti di pareggio dovrebbero essere questi ...

$2, 16, 24, 160, 270, 272, 1.456, 3.398, 3.418, 3.420, 3.422, 13.120, 44.686, 118.096, 674.934, 1.062.880$

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Preso da raptus, ho calcolato i punti di pareggio per le altre cifre ...

Per il $2$:

$2, 2.914, 3.150, 3.152, 3.238, 3.398, 26.242, 41.558, 42.280, 44.686, 236.194, 671.784, 672.136, 674.910$

$674.912, 674.926, 674.934, 1.299.076, 1.305.158, 1.305.232, 1.305.406, 1.325.320, 1.346.694, 2.125.762$


Per il $3$:

$39.364, 41.288, 41.308, 41.558, 43.738, 44.686, 354.292, 671.782, 671.784, 673.594, 674.910, 3.188.644$


Per il $4$:

$472.390, 630.226, 642.976, 671.782, 671.784, 4.251.526$


Per il $5$:

$590.488, 630.224, 630.226, 656.098, 671.782, 5.314.408$


Per il $6$

$6.377.290$


Per il $7$:

$7.440.172, 15.633.516, 15.633.518, 15.707.032, 16.264.012, 16.271.278, 16.305.300, 16.307.728$

$16.308.426, 16.308.428, 16.769.914, 16.935.524, 16.937.584, 16.938.652, 16.938.718, 16.938.922$

$16.979.866, 16.980.210, 17.006.110$


Per l'$8$:

$8.503.054, 15.633.516, 15.633.518, 15.825.130, 16.263.742, 16.263.826, 16.264.012, 16.284.400$

$16.305.276, 16.305.278, 16.305.280, 16.305.300, 16.888.012, 16.935.524, 18.068.992$


Per il $9$:

$9.565.936, 15.588.832, 15.588.934, 15.633.516, 15.943.228, 16.263.742, 16.263.988, 16.264.012$

$16.297.522, 16.305.276, 16.305.298, 16.305.300, 19.131.874$

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Questa è discriminazione. Il povero zero già lo costringono a scomparire tutte le volte in cui gli spetterebbe di fare il capofila...e adesso manco lo menzionano. Eppure senza di lui tutto si complicherebbe.

Ciao

[axpgn]

Perché dopo ce n'è uno tutto per lui ...

[orsoulx]

Bravo, se è così, evito di fondare il movimento per la difesa dello zero.
Ciao

[superpippone]

Alex: tu sei ammalato!!! Ed anche gravemente....

[axpgn]

Mica ho fatto i conti a mano! ... tra l'altro il programmino mi è venuto molto più semplice di quel che pensavo anche se lento

Giusto per completezza metto anche i punti di pareggio per $0$ (partendo da zero però ...)

$1, 10.761.663, 14.958.625, 14.960.703, 14.961.753, 15.013.191, 15.588.849, 15.588.851$
$15.589.101, 15.589.119, 15.589.121, 15.590.559, 15.591.977, 15.592.017, 15.592.247$
$15.603.681, 15.633.535, 16.076.073, 16.263.759, 16.263.761, 20.327.601$

Cordialmente, Alex