Gli ovetti di Pasqua e auguri di buona Pasqua
Propongo il seguente problema, noto come il problema del ... (lascio a voi la conclusione).
In ogni ovetto di Pasqua di una certa azienda c'è un ciondolo.
Sapendo che la collezione è composta da 4 ciondoli, quanti ovetti si devono comprare in media per completare la collezione?
Si ipotizzi che ogni ciondolo abbia la stessa probabilità di finire dentro un ovetto.
SUGGERIMENTO:
si osservi che la variabile casuale $y$ numero minimo di ovetti necessari per completare la collezione può essere scritta come
$y=y_1+y_2+y_3+y_4$
dove $y_i$ è il numero di ovetti che devono essere comprati per incrementare la collezione da $i-1$ a $i$ ciondoli con $i=1,2,3,4$.
In ogni ovetto di Pasqua di una certa azienda c'è un ciondolo.
Sapendo che la collezione è composta da 4 ciondoli, quanti ovetti si devono comprare in media per completare la collezione?
Si ipotizzi che ogni ciondolo abbia la stessa probabilità di finire dentro un ovetto.
SUGGERIMENTO:
si osservi che la variabile casuale $y$ numero minimo di ovetti necessari per completare la collezione può essere scritta come
$y=y_1+y_2+y_3+y_4$
dove $y_i$ è il numero di ovetti che devono essere comprati per incrementare la collezione da $i-1$ a $i$ ciondoli con $i=1,2,3,4$.
Risposte
Intendi che la collezione è composta da 4 TIPI diversi di ciondolo?
si
non so se il problema sia di per sé semplice o meno, cmq personalmente ho difficoltà in quanto non riesco ad associarvi nessuna variabile aleatoria notevole (anche se le uniche variabili aleatorie discrete che conosco sono la bernoulliana, la binomiale e la geometrica).
il problema non è semplicissimo, comunque ho messo un suggerimento (vedi sopra) e le variabili che conosci sono più che sufficienti.
ho letto il suggerimento e ci ho provato ma mi viene un numero non intero... $25/3$ per l'esattezza, quindi dovrebbero essere $8$ o $9$ gli ovetti necessari in media per completare la collezione. che ne dici?
Dico che è giusto!!
Visto che avevo preparato la soluzione del problema del collezionista, eccola:
come detto nel suggerimento, il minimo numero (aleatorio) $y$ di ovetti da acquistare necessario per possedere tutti e 4 i ciondoli è dato da $y = y_1+y_2+y_3+y_4$, ovvero:
1. dal numero $y_1$ di ovetti che devo comprare per avere il primo ciondolo (ovviamente $y_1=1$, basta comprare il primo ovetto per avere il primo ciondolo);
2. dal numero di ovetti $y_2$ che devo comprare per passare da un ciondolo a due ciondoli. È facile rendersi conto che la variabile $y_2$ ha distribuzione geometrica con probabilità di successo data dal rapporto tra ovetti rimasti e ovetti totali : $3/4$. Pertanto
$P(y_2 = k) = (1-3/4)^(k-1) *3/4$ con $k$ intero positivo.
3. $y_3$ è il numero di ovetti da comprare per passare da 2 a 3 ciondoli, e ha distribuzione geometrica con probabilità di successo pari a $2/4=1/2$, ovvero
$P(y_3 = k) = (1-1/2)^(k-1) *1/2$
4. Analogamente
$P(y_4 = k) = (1-1/4)^(k-1) *1/4$.
Il problema chiede di determinare il valore atteso di $y$, pertanto si ha
$E(y)=E(y_1) + E(y_2) + E(y_3) + E(y_4)$,
tenendo presente che una variabile geometrica con probabilità di successo pari a $p$ ha media $1/p$, si ottiene
$E(y)=1 + 4/3 + 2 + 4=25/3$ che all’incirca è pari a 8,3
Se invece avessi avuto $n$ ciondoli, ragionando come sopra si ha
$p_i = (n-i+1)/n$ per $i=1,…,n$
dove $p_i$ è la probabilità di successo della variabile geometrica $y_i$.
$E(y_i)=1/p_i =n/(n-i+1)$
$E(y) = n( 1/n + 1/(n-1)+…+1)$
per $n$ grande il secondo membro è approssimativamente pari a $n(ln(n) +c)$ dove $c$ è la costante di Eulero-Mascheroni.
Questo schema di ragionamento può essere utilizzato anche per altri problemi, ad esempio, per stabilire quante volte in media deve essere lanciato un dado a $s$ facce affinchè tutte le facce escano almeno una volta.
Per maggiori informazioni vedere qui: http://www.matematica.it/impedovo/artic ... 20dadi.pdf
In realtà, ho proposto questo quesito unicamente per fare a tutti gli utenti del forum gli
[size=200]AUGURI DI BUONA PASQUA!!!![/size]
Visto che avevo preparato la soluzione del problema del collezionista, eccola:
come detto nel suggerimento, il minimo numero (aleatorio) $y$ di ovetti da acquistare necessario per possedere tutti e 4 i ciondoli è dato da $y = y_1+y_2+y_3+y_4$, ovvero:
1. dal numero $y_1$ di ovetti che devo comprare per avere il primo ciondolo (ovviamente $y_1=1$, basta comprare il primo ovetto per avere il primo ciondolo);
2. dal numero di ovetti $y_2$ che devo comprare per passare da un ciondolo a due ciondoli. È facile rendersi conto che la variabile $y_2$ ha distribuzione geometrica con probabilità di successo data dal rapporto tra ovetti rimasti e ovetti totali : $3/4$. Pertanto
$P(y_2 = k) = (1-3/4)^(k-1) *3/4$ con $k$ intero positivo.
3. $y_3$ è il numero di ovetti da comprare per passare da 2 a 3 ciondoli, e ha distribuzione geometrica con probabilità di successo pari a $2/4=1/2$, ovvero
$P(y_3 = k) = (1-1/2)^(k-1) *1/2$
4. Analogamente
$P(y_4 = k) = (1-1/4)^(k-1) *1/4$.
Il problema chiede di determinare il valore atteso di $y$, pertanto si ha
$E(y)=E(y_1) + E(y_2) + E(y_3) + E(y_4)$,
tenendo presente che una variabile geometrica con probabilità di successo pari a $p$ ha media $1/p$, si ottiene
$E(y)=1 + 4/3 + 2 + 4=25/3$ che all’incirca è pari a 8,3
Se invece avessi avuto $n$ ciondoli, ragionando come sopra si ha
$p_i = (n-i+1)/n$ per $i=1,…,n$
dove $p_i$ è la probabilità di successo della variabile geometrica $y_i$.
$E(y_i)=1/p_i =n/(n-i+1)$
$E(y) = n( 1/n + 1/(n-1)+…+1)$
per $n$ grande il secondo membro è approssimativamente pari a $n(ln(n) +c)$ dove $c$ è la costante di Eulero-Mascheroni.
Questo schema di ragionamento può essere utilizzato anche per altri problemi, ad esempio, per stabilire quante volte in media deve essere lanciato un dado a $s$ facce affinchè tutte le facce escano almeno una volta.
Per maggiori informazioni vedere qui: http://www.matematica.it/impedovo/artic ... 20dadi.pdf
In realtà, ho proposto questo quesito unicamente per fare a tutti gli utenti del forum gli
[size=200]AUGURI DI BUONA PASQUA!!!![/size]
[size=150]anche se sono arrivato tardi per risolvere il problema faccio tanti auguri di buona pasqua a tutti[/size]
ringrazio e ricambio... auguri di buona pasqua a tutti!!
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